Question

如圖，在半徑為3厘米的⊙O中，A，B，C三點在圓上，∠BAC=75°，點P從點B開始以

π

5

厘米/秒的速度在劣弧BC上運動，且運動時間為t（秒），∠AOB=90°、∠BOP=n°．
（1）∠BOC=

150

 度，求n與t之間的函數(shù)關系式，并求t的取值范圍；
（2）試探究當點P運動多少秒時：
①四邊形PBAC為等腰梯形，并說明其理由；
②以P，B，A，C四點中的三點為頂點的三角形是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)求出∠BOP即可，再利用弧長公式求出n與t的關系即可；
（2）①當BP∥AC時，以及當PC∥AB時，分別利用等腰梯形的性質(zhì)求出即可；
②以AB為腰時，以AB為底邊時，再利用在△APC中，∠APC=60°，△APC是等邊三角形和在△BPC中，∠BPC=105°，只有BP=PC這種情況，分別求出即可．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，∴∠BAO=45°，
∵∠BAC=75°，∴∠CAO=30°，
∵AO=CO，
∴∠CAO=∠OCA=30°，
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠BOC=360°-90°-120°=150°，
∵∠BOP=n°，則

π

5

t=

3πn

180

，整理得出：n=12t，
當n=150°時，150°=12t，t=12.5，故0≤t≤12.5．

（2）①∠BOP=n°，n=12t．
如圖1，當BP∥AC時，t=5秒，四邊形PBAC為等腰梯形．
理由：∵∠PBA=180°-75°=105°，
∵∠OBA=45°∴∠OBP=60°，OB=OP，
∴∠BOP=60°，則60=12t，
解得：t=5（秒），
又∵∠AOP=150°，∠ACP=75°，∴AB 與PC不平行．
又∵∠POC=150°-60°=90°=∠AOB，
∴AB=PC，∴四邊形PBAC為等腰梯形．
如圖2，當PC∥AB時，n=120=12t，解得：t=10（秒）
理由：∵∠CPB=180°-75°=105°，
∵∠OBA=45°，∴∠OBP=30°，OB=OP，
∴∠BOP=120°，則120=12t，
解得：t=10（秒），
又∵∠ACP=180°-75°=105°，∠BPC=105°，∴PB與AC不平行．
又∵∠POB=120°=∠AOC，
∴PB=AC，∴四邊形PBAC為等腰梯形．
②在△ABP中，以AB為腰時（如圖3），
∵∠BPA=∠BAP=45°，
∴∠BOP=45°+45°=90°，
故n=90=12t，解得：t=7.5（秒），
以AB為底邊時（如圖4），
∵∠BPA=

1

2

∠BOA=45°，∴∠BAP=67.5°，∴∠BOP=2×67.5°，
故135=12t，
解得：t=11.25（秒）．
如圖5．在△APC中，∠APC=60°，△APC是等邊三角形，
∴∠BAP=15°，∠BOP=30°，
故30=12t，解得：t=2.5（秒）．
如圖6，在△BPC中，∠BPC=105°，只有BP=PC這種情況，
此時P是弧BC的中點，或說AP是∠BAC的平分線，
∠BOP=75°，
故n=75=12t，
解得：t=6.25（秒）．
綜合上述：當點P運動時間為5，10秒，四邊形ABPC為等腰梯形；
當點P運動時間為7.5，11.25秒，三角形ABP為等腰三角形；
當點P運動時間為2.5秒，三角形APC為正三角形；
當點P運動時間為6.25秒，三角形BPC為等腰三角形．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及等腰梯形的判定和等腰三角形的性質(zhì)以及弧長公式的應用等知識，利用數(shù)形結合以及分類討論是解題關鍵．