Question

（2012•蓮都區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上．已知OA：OB=1：5，OB=OC，△ABC的面積S_△ABC=15，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；
（2）點P（2，-3）是拋物線對稱軸上的一點，在線段OC上有一動點M，以每秒2個單位的速度從O向C運動，（不與點O，C重合），過點M作MH∥BC，交X軸于點H，設(shè)點M的運動時間為t秒，試把△PMH的面積S表示成t的函數(shù)，當t為何值時，S有最大值，并求出最大值；
（3）設(shè)點E是拋物線上異于點A，B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F．以EF為直徑畫⊙Q，則在點E的運動過程中，是否存在與x軸相切的⊙Q？若存在，求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知設(shè)OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，由S_△ABC=

1

2

AB×OC=15，可求m的值，確定A、B、C三點坐標，由A、B兩點坐標設(shè)拋物線交點式，將C點坐標代入求解即可；
（2）先根據(jù)點B、C的坐標求出直線BC的解析式，在設(shè)出點M的坐標，從而求出MH的解析式，根據(jù)拋物線的對稱軸x=2得到直線MH與對稱軸的交點D的坐標，求出DP的長度，然后根據(jù)S_△PMH=
S_△PMD+S_△PDH，列式得到關(guān)于t的二次函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可；
（3）存在．根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出點E的坐標，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點E到對稱軸的距離，再根據(jù)以EF為直徑的⊙Q與x軸相切，則點E到x軸的距離等于點E到對稱軸的距離相等，然后列出方程，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉括號解方程即可，從而得到點E的坐標．

解答：解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
設(shè)OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，
由S_△ABC=

1

2

AB×OC=15，得

1

2

×6m×5m=15，
解得m=1（舍去負值），
∴A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-5），將C點坐標代入，得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-5），
即y=x²-4x-5；

（2）∵B（5，0），C（0，-5），
∴直線BC的解析式為：y=x-5，
∵點M的運動時間為t，
∴M（0，-2t），
∵直線MH平行于直線BC，
∴直線MH為y=x-2t，
設(shè)直線MH與對稱軸交于點D，點D的坐標為（2，2-2t），
∴DP=（2-2t）-（-3）=5-2t，
∴S_△PMH=

1

2

×2t（5-2t）=-2t²+5t=-2（t-

5

4

）²+

25

8

，（0＜t＜

5

2

），
∴當t=

5

4

時，S有最大值是

25

8

；

（3）∵拋物線的解析式為y=x²-4x-5，
∴設(shè)點E的坐標為（x，x²-4x-5），
又∵拋物線的對稱軸為x=2，
∴點E到對稱軸的距離為

1

2

EF=|x-2|，
∵以EF為直徑的⊙Q與x軸相切，
∴|x-2|=|x²-4x-5|，
①x-2＞0，x²-4x-5＞0時，即x＞5時，x-2=x²-4x-5，
整理得，x²-5x-3=0，
解得x=

5+ 37

2

，x=

5- 37

2

（舍去），
∴x-2=

1+ 37

2

，
此時點E的坐標為（

5+ 37

2

，

1+ 37

2

），
②x-2＞0，x²-4x-5＜0時，即2＜x＜5時，x-2=-（x²-4x-5），
整理得，x²-3x-7=0，
解得x=

3+ 37

2

，x=

3- 37

2

（舍去），
∴-（x-2）=-（

3+ 37

2

-2）=

1- 37

2

，
此時點E的坐標為（

3+ 37

2

，

1- 37

2

），
③x-2＜0，x²-4x-5＞0時，即x＜-1時，-（x-2）=x²-4x-5，
整理得，x²-3x-7=0，
解得x=

3- 37

2

，x=

3+ 37

2

（舍去），
∴-（x-2）=-（

3- 37

2

-2）=

1+ 37

2

，
此時點E的坐標為（

3- 37

2

，

1+ 37

2

），
④x-2＜0，x²-4x-5＜0時，即-1＜x＜2時，-（x-2）=-（x²-4x-5），
整理得，x²-5x-3=0，
解得x=

5- 37

2

，x=

5+ 37

2

（舍去），
∴x-2=

5- 37

2

-2=

1- 37

2

，
此時點E的坐標為（

5- 37

2

，

1- 37

2

），
綜上所述，存在點E：（

5+ 37

2

，

1+ 37

2

），（

3+ 37

2

，

1- 37

2

），（

3- 37

2

，

1+ 37

2

），（

5- 37

2

，

1- 37

2

）使得以EF為直徑的⊙Q與x軸相切．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，三角形的面積，以及二次函數(shù)的對稱性，（3）中要注意點到直線的距離的表示以及絕對值方程的討論求解，難度不大，但運算比較麻煩，計算時要認真仔細．