Question

如圖，已知⊙O是梯形ABCD的外接圓，DC∥AB，過(guò)A點(diǎn)作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于E．求證：AD²=DE•AB．

Answer 1

證明：連接AC，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
又∵AE是⊙O的切線，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
而∠ADE是四邊形ABCD的外角，
∴∠ADE=∠B，
∴△ABC∽△ADE．
∴AD：AB=DE：BC．
∵AB、CD是⊙O中的平行弦，
∴BC=AD，
∴AD²=DE•AB．
分析：連接AC，因?yàn)锳B∥CD，所以∠1=∠2，由圓的內(nèi)接四邊形定理可證明∠ADE=∠B，進(jìn)而證明△ABC∽△ADE，所以AD：AB=DE：BC．因?yàn)锳B、CD是⊙O中的平行弦，所以BC=AD，所以AD²=DE•AB．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了圓周角定理，垂徑定理的運(yùn)用，以及平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)．