Question

已知一個直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D．

（1）若折疊后使點B與點O重合，則點C的坐標為______；若折疊后使點B與點A重合，則點C的坐標為______；
（2）若折疊后點B落在邊OA上的點為B′，設(shè)OB′=x，OC=y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；
（3）若折痕經(jīng)過點O，請求出點B落在x軸上的點B′的坐標；
（4）若折疊后點B落在邊OA上的點為B′，且使DB′⊥OA，求此時點C的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)對折得出OC=BC，根據(jù)OB=4求出即可；連接AC，推出BC=AC，設(shè)OC=a，則AC=BC=4-a，在Rt△ACO中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）連接B′C，得出BC=B′C=4-y，在Rt△B′OC中，由勾股定理得出方程y²+x²=（4-y）²，由（1）即可得出x的范圍，求出即可；
（3）根據(jù)已知得出BO=B′O，即可得出答案；
（4）連接B′C，設(shè)OB′=x，OC=y，求出B′C∥BD，推出△OB′C∽△OAB，得出=，求出y=2x，在Rt△COB′中，由勾股定理得出x²+（2x）²=（4-2x）²，求出x即可．
解答：（1）解：如圖（1），∵OB=4，延CD折疊后使點B與點O重合，
∴OC=BC=OB=2，
∴C的坐標是（0，2），
如圖（2）連接AC，
∵OB=4，延CD折疊后使點B與點A重合，
∴BC=AC，
設(shè)OC=a，則AC=BC=4-a，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC²+OA²=AC²，
a²+2²=（4-a）²，
解得：a=，
即C（0，），
故答案為：（0，2），（0，）．
（2）解：如圖（3）連接B′C，
∵延CD折疊后使點B與點B′重合，
∴BC=B′C=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理得：OC²+OB′²=B′C²，
y²+x²=（4-y）²，
即y=-x²+2，y的取值范圍是≤y＜2．
（3）解：如圖（4）
∵若折痕經(jīng)過點O（C和O重合），點B落在x軸上的點B′，
∴OB=OB′=4，
即B′的坐標是（4，0）．
（4）解：如圖（5）連接B′C，
設(shè)OB′=x，OC=y，
∵延CD折疊B和B′重合，
∴BC=B′C，BD=B′D，
∴∠CBB′=∠CB′B，∠DBB′=∠DB′B，
∵B′D⊥OA，∠AOB=90°，
∴B′D∥OB，
∴∠CBB′=∠BB′D，
∴∠CBB′=∠B′BD，
∴B′C∥BD，
∴△OB′C∽△OAB，
∴=，
∴=，
即y=2x，
∴OB′=x，OC=2x，BC=4-2x=B′C，
在Rt△COB′中，由勾股定理得：x²+（2x）²=（4-2x）²，
∵x為邊長，
∴x＞0，
解方程得：x=4-8，2x=-16+8，
∴C的坐標是（0，-16+8）．

點評：本題考查了等腰三角形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)，主要考查學生運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，綜合性比較強，有一定的難度，方程思想的運用．