Question

如圖是王老師休假釣魚時(shí)的一張照片，魚桿前部分近似呈拋物線的形狀，后部分呈直線形．已知拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點(diǎn)B，C之間的距離為2米，頂點(diǎn)O離水面的高度為2

2

3

米，人握的魚桿底端D離水面1

1

3

米，離拐點(diǎn)C的水平距離1米，且仰角為45°，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）試根據(jù)上述信息確定拋物線BOC和CD所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)繼續(xù)向上拉魚使其剛好露出水面時(shí)，釣桿的傾斜角增大了15°，直線部分的長度變成了1米（即ED長為1米），頂點(diǎn)向上增高

2

3

米，且右移

1

2

米（即頂點(diǎn)變?yōu)镕），假設(shè)釣魚線與人手（點(diǎn)D）的水平距離為2

1

4

米，那么釣魚線的長度為多少米？

Answer 1

分析：（1）先設(shè)拋物線BOC的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²．有C的坐標(biāo)求出a的值即可得到拋物線的解析式；設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，由C，D點(diǎn)的坐標(biāo)求出k和b的值即可求出直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）由已知條件求出E和F的坐標(biāo)，設(shè)這時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=m(x-

1

2

)2+

2

3

，又由已知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

4

，再把橫坐標(biāo)代入求出的函數(shù)關(guān)系式求出此時(shí)的縱坐標(biāo)即可求出釣魚線的長度為多少米．

解答：解：（1）由已知，得C(1，-

1

3

)．
設(shè)拋物線BOC的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²．
則a=-

1

3

，所以y=-

1

3

x2．
(1，-

1

3

)，(2，-1

1

3

)
得

k+b=- 1 3 2k+b=- 4 3 .

解得k=-1，b=

2

3

．
所以y=-x+

2

3

；

（2）由已知，得E(

3

2

，

3

2

-

4

3

)，F(

1

2

，

2

3

)．
設(shè)這時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=m(x-

1

2

)2+

2

3

．
則m(

3

2

-

1

2

)2+

2

3

=

3

2

-

4

3

．
所以m=

3

2

-2．
所以y=(

3

2

-2)(x-

1

2

)2+

2

3

，
又由已知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

4

，得A(-

1

4

，

27 3 -44

96

)．
所以釣魚線的最小長度為

27 3 +212

96

米．

點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，解決這類題目是恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．