Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l所在的直線的解析式為y=x，點(diǎn)B坐標(biāo)為（10，0）過B做BC⊥直線l，垂足為C，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸方向向點(diǎn)B運(yùn)動，速度為1單位/s，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→原點(diǎn)方向運(yùn)動，速度為2個單位/s，當(dāng)一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．

（1）OC= ，BC= ；

（2）當(dāng)t=5（s）時，試在直線PQ上確定一點(diǎn)M，使△BCM的周長最小，并求出該最小值；

（3）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（s），△PBQ的面積為y，當(dāng)△PBQ存在時，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）8，6；（2）16；（3）y=．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得答案；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得直線PQ上的點(diǎn)到O、C的距離相等，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得M點(diǎn)與P點(diǎn)重合，根據(jù)三角形的周長，可得答案；

（3）根據(jù)速度與時間的關(guān)系，可得OP，BQ，根據(jù)正切函數(shù)，可得QH，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．

解：（1）∵直線l所在的直線的解析式為y=x，BC⊥直線l，

∴=．

又∵OB=10，BC=3x，OC=4x，

∴（3x）2+（4x）2=102，

解得x=2，x=﹣2（舍），

OC=4x=8，BC=3x=6，

故答案為：8，6；

（2）如圖1：

，

PQ是OC的垂直平分線，OB交PQ于P即M點(diǎn)與P點(diǎn)重合，

M與P點(diǎn)重合時△BCM的周長最小，

周長最小為=BM+PM+BC=OB+BC=10+6=16；

（3）①當(dāng)0＜t≤3時，過Q作QH⊥OB垂足為H，如圖2：

，

PB=10﹣t，BQ=2t，HQ=2tsinB=2tcos∠COB=2t×=t，

y=PBQH=（10﹣t）t=﹣t2+8t；

②當(dāng)3＜t＜5時，過Q作QH⊥OB垂足為H，如圖3：

，

PB=10﹣t，OQ=OC+BC﹣2t=14﹣2t，

QH=OQsin∠QOH=（14﹣2t）=（14﹣2t）=﹣t，

y=PBQH=（10﹣t）（﹣t）=t2﹣t+42，

綜上所述y=．