Question

如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．

（1）求拋物線的解析式；
（2）連接OA，AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△OBP與△OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，再根據(jù)拋物線過原點(diǎn)可求出a的值，故可得出拋物線的解析式；
（2）由拋物線的對稱性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO，由△BOP與△AOB相似可知∠POB=∠BOA=∠BPO，設(shè)OP交拋物線的對稱軸于C點(diǎn)，求出C點(diǎn)坐標(biāo)及直線OP的解析式，把拋物線的解析式與直線OP的解析式組成方程組即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，過P作PE⊥x軸，在Rt△BEP中利用勾股定理可求出BP的長，由PB≠OB可知∴△PBO與△BAO不相似，同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn)．

解答：解：（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1．
∵拋物線過原點(diǎn)，
∴0=a（0-2）²+1，
∴a=-

1

4

．
故拋物線的解析式為y=-

1

4

(x-2)2+1，即y=-

1

4

x2+x． 

（2）如圖，由拋物線的對稱性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．
∵△BOP與△AOB相似，
∴∠POB=∠BOA=∠BPO．
設(shè)OP交拋物線的對稱軸于C點(diǎn)，
∴C（2，-1），
∴直線OP的解析式為y=-

1

2

x，
∵拋物線與直線OP有交點(diǎn)，
∴-

1

2

x=-

1

4

x²+x，
解得x₁=0，x₂=6．
∴P（6，-3）．
過P作PE⊥x軸，
在Rt△BEP中，
∵BE=2，PE=3，
∴PB=

22+32

=

13

≠4．
∴PB≠OB．
∴∠BOP≠∠BPO．
∴△PBO與△BAO不相似，
同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn)．
故在該拋物線上不存在點(diǎn)P，使得△OBP與△OAB相似．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，此題涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)知識，難度適中．