Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，其中∠ABO=30°，OB=4．
（1）直接寫(xiě)出，Rt△AOB的內(nèi)心P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若將Rt△AOB繞其直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜90°），得到Rt△ACD，直角邊AD與x軸相交于點(diǎn)N，直角邊AC與y軸相交于點(diǎn)M，連接MN．設(shè)△MON的面積為S_△MON，△AOB的面積為S_△AOB，以點(diǎn)M為圓心，MO為半徑作⊙M，
①當(dāng)直線AD與⊙M相切時(shí)，試探求S_△MON與S_△AOB之間的關(guān)系．
②當(dāng)S_△MON=

1

4

S_△AOB時(shí)，試判斷直線AD與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形內(nèi)切圓半徑求法直接得出即可；
（2）①利用切線的性質(zhì)得出△AMN∽△ACD，進(jìn)而得出

S△MON

S△ACD

=（

AN

AD

）²=（

2

2 3

）²=

1

3

；
②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出MO與BN的關(guān)系得出，AM的長(zhǎng)，進(jìn)而得出直線AD與⊙M的位置關(guān)系．

解答：解：（1）r=

2+2 3 -4

2

=

3

-1
則P的坐標(biāo)是：（3-

3

，

3

-1）；

（2）①當(dāng)AD與⊙M相切時(shí)，過(guò)M作MN⊥AO于點(diǎn)H，則MH=OM，此時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)A重合．
∴OM=MA
∵∠MOA=α
∠AON=90°-α，∠OAN=90°-α
∠ONA=2α
∴α=30°
∵M(jìn)N∥CD
∴△AMN∽△ACD
∴

S△MON

S△ACD

=（

AN

AD

）²=（

2

2 3

）²=

1

3

；
②∵S_△AMN=

1

4

S_△AOB=

1

4

S_△ACD，
∴

1 2 OM•ON

1 2 ×2×2 3

=

1

4

，
∵由（2）不難得出：∠MAO=∠BAN，∠AOM=∠ABO，
∴△OAM∽△ANB，
∴

MO

BN

=

AO

AB

=

2

2 3

=

1

3

，
∵設(shè)OM=x，BN=

3

x，NO=4-

3

x，
∴

1 2 • x(4- 3 x)

1 2 ×2×2 3

=

1

4

，
解得：x₁=

3

，x₂=

3

3

，
∴當(dāng)x=

3

時(shí)，OM=

3

，NO=1，
∴MN=2，∴AM=1，
∵d＜r，
∴直線AD與⊙M相交，
當(dāng)x=

3

3

時(shí)，MO=

3

3

，NO=3，
∴NM=

9+ 1 3

=

2 21

3

，
∴AM=

21

3

，
∵

21

3

＞

3

3

，
∴直線AD與⊙M相離．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角三角內(nèi)切圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出MO與BN的關(guān)系是解題關(guān)鍵．