Question

（2006•舟山）如圖，已知拋物線y=ax²+4ax+t（a＞0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形？并證明你的結(jié)論；
（3）連接CA與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，當(dāng)∠APD=∠ACP時(shí)，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的對(duì)稱軸為x=-，由此可求出拋物線的對(duì)稱軸方程，由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，因此可根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）已知了CP∥AB，只需證CP是否與AB相等即可，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸x=-2可知CP=2，根據(jù)A、B的坐標(biāo)不難得出AB=2，因此AB與PC平行且相等，四邊形ABCP是平行四邊形．
（3）本題的關(guān)鍵是求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，即OC的長，當(dāng)∠APD=∠ACP時(shí)，△ADE∽△PAE，可得出AE²=DE•PE①，AE的長可根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸方程求得，而關(guān)鍵是求出DE、PE的比例關(guān)系，由于PE=OC，在相似三角形ADE和ACO中，可求出DE與OC的比例關(guān)系，也就求出了DE與PE的比例關(guān)系，然后將這個(gè)式子代入①中即可求出OC的長，已知了A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)后可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
解答：解：（1）x=-=-2，
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，0），=-2，
∴x=-3，A的坐標(biāo)（-3，0）

（2）四邊形ABCP是平行四邊形
∵CP=2，AB=2，
∴CP=AB
又∵CP∥AB
∴四邊形ABCP是平行四邊形

（3）通過△ADE∽△CDP得出DE：PE=1：3
∵四邊形ABCP是平行四邊形
∴AB∥PC，
∴∠ACP=∠CAB，
∵∠APD=∠ACP，
∴∠APD=∠CAB，
∵∠AED是公共角，
∴△ADE∽△PAE，
∴1²=•t
解得t=，
將B（-1，0）代入拋物線y=ax²+4ax+t，
得t=3a，a=，
拋物線的解析式為y=x²+x+．
點(diǎn)評(píng)：該題綜合性較強(qiáng)，它將二次函數(shù)和相似三角形、平行四邊形貫穿在一起，考查綜合分析問題能力，既考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸解析式，又考查相似三角形的性質(zhì)和平行四邊形的識(shí)別，是一個(gè)考查學(xué)生綜合解題能力的好題．