Question

（2009•兗州市模擬）對(duì)于題目“如圖1，在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作矩形ABCD，其中AB和AD在兩直角邊上，設(shè)AB=x cm，矩形ABCD的面積為ycm²，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？”（答案是當(dāng)x=20時(shí)，y的值最大，最大值是300）．小華同學(xué)提出了如下兩個(gè)問(wèn)題，你能幫助他解決嗎？
如果按圖2使矩形的一邊BC在斜邊EF上，如何解答此時(shí)求出來(lái)的最大值仍是300cm²嗎？你能肯定圖1和圖2中的兩個(gè)面積最大的矩形全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：①已知了AB=x，可在Rt△ABE中，用AB的長(zhǎng)和∠E的正弦值求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可表示出AC的長(zhǎng)，同理可在Rt△AOD中，用AO的長(zhǎng)和∠E的余弦函數(shù)求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)矩形的面積公式得出y、x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值為300，以及此時(shí)x的值．（也可用相似三角形來(lái)求AD的長(zhǎng)，方法不唯一）．
②先根據(jù)①和②函數(shù)求出矩形各自的長(zhǎng)和寬，然后比較即可．
解答：解：如圖2：設(shè)AB=xcm，矩形ABCD的面積為ycm²
在Rt△OEF中，sin∠E=，
∵AB=x，∴AE=AB÷sin∠E=x，
AO=40-AE=40-x，
AD=AO÷cos∠DAO=AO÷cos∠E=（40-x）=50-x，
∴y=AD×AB=（50-x）x，即y=-x²+50x
配方整理，得y=-（x-12）²+300，
當(dāng)x=12cm時(shí)，y_最大=300cm²
此時(shí)矩形ABCD的長(zhǎng)BC=25cm，顯然圖①和圖②中的矩形ABCD的面積為300cm²，
由于圖①中的矩形的長(zhǎng)和寬分別為15cm、20cm，圖②中的矩形的長(zhǎng)和寬分別為25cm、12cm，
所以圖①和圖②中的矩形不全等．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了圖象面積的求法，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．