Question

解答題：
（1）設(shè)互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的差為60°，求較小角的余角．
（2）設(shè)一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的余角的5倍，求這個(gè)角的度數(shù)．
（3）如圖，∠1=∠2，∠EMB=55°，試求∠DNF的度數(shù)．

（4）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別表示三個(gè)小區(qū)，AB，BC，AC是連接三個(gè)小區(qū)的已有自來(lái)水管道，某工程隊(duì)現(xiàn)在要△ABC在內(nèi)部（包括邊上）建一個(gè)自來(lái)水公司M，M到AB，BC，AC的距離和計(jì)為L(zhǎng)，已知AB=4，BC=5，AC=6，問(wèn)自來(lái)水供應(yīng)M在哪個(gè)位置，工程對(duì)才有最大的經(jīng)濟(jì)效益（即L最小）

Answer 1

分析：（1）（2）分別利用余角和補(bǔ)角的定義來(lái)求，（3）利用平行線的判定和性質(zhì)來(lái)做，（4）設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的圓心為M，利用余弦定理和三角形的面積公式，可求出R的長(zhǎng)．

解答：（1）30°
解：設(shè)較小的角為x，則較大的角為x+60°，
所以x+x+60°=180°，
解得x=60°，
所以較小的角的余角為90°-60°=30°．

（2）67.5°
解：設(shè)這個(gè)角為x，
所以180°-x=5（90°-x），
解得x=67.5°．

（3）125°
解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
又∵∠EMB=55°，
∴∠1=∠2=∠EMB=55°
∴∠DNF=180°-∠2=125°．

（4）由題意可知，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)切圓的圓心時(shí)，L最小，
在△ABC中，cosB=

AB2+BC2-AC2

2×AB×BC

=

1

8

，
∴sinB=

1- 1 82

=

3 7

8

，
∴△ABC的面積為

1

2

×AB×BC×sinB=

15 7

4

，
設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為R，則△ABC的面積為

1

2

×(AB+BC+AC)×R=

15 7

4

，
解得R=

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：（1）-（3）題涉及余角、補(bǔ)角的知識(shí)，難度不大，第（4）題，涉及三角形內(nèi)切圓，余弦定理，三角形面積等知識(shí)，并且與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，計(jì)算量也比較大，難度偏難．