Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在梯形的頂點(diǎn)C上，使三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E落在BC邊上時，線段DE與BF的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；
（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，旋轉(zhuǎn)角為α．請你在圖2中畫出圖形，并判斷（1）中結(jié)論還成立嗎？如果成立請加以證明；如果不成立，請說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)三角板的一邊CF與梯形對角線AC重合時，EF與CD相交于點(diǎn)P，若，求PE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AM⊥DC，垂足為點(diǎn)M，解直角△ADM可求DM，從而可知CD長，CD=CB，CE=CF，可證△CDE≌△BCF，利用對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，互余關(guān)系得出垂直、相等的關(guān)系；
（2）畫出圖形，圍繞證明△CDE≌△BCF，尋找條件，仿照（1）的方法進(jìn)行證明；
（3）用勾股定理求AC、BD，用相似求AO、OC、OB，已知，可求CF、CE，證明△CPE∽△COB，利用相似比求PE．
解答：解：（1）垂直，相等．
畫圖如右圖（答案不唯一）

（2）（1）中結(jié)論仍成立．
證明如下：
過A作AM⊥DC于M，
則四邊形ABCM為矩形．
∴AM=BC=2，MC=AB=1．
∵DC=2，
∴．
∴DC=BC．
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=90°，CE=CF．
∵∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
在△DCE和△BCF中，
，
∴△DCE≌△BCF，
∴DE=BF，∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠5=∠BCD=90°，
∴DE⊥BF，
∴線段DE和BF相等并且互相垂直．

（3）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵AB=1，CD=2，
∴，
在Rt△ABC中，
，
∴，
同理可求得，
∵，
∴，
∴．
∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠OBC=45°，
由（2）知△DCE≌△BCF，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠OBC=45°
∴△CPE∽△COB，
∴，
∴，
∴．
點(diǎn)評：本題運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)解決相似三角形、全等三角形的問題，并運(yùn)用勾股定理求線段的長．