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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)M是
          AE
          的中點(diǎn),OM交AC于點(diǎn)D,∠BOE=60°,cosC=
          1
          2
          ,BC=2
          3

          (1)求∠A的度數(shù);
          (2)求證:BC是⊙O的切線;
          (3)求MD的長度.
          分析:(1)根據(jù)三角函數(shù)的知識即可得出∠A的度數(shù).
          (2)要證BC是⊙O的切線,只要證明AB⊥BC即可.
          (3)根據(jù)切線的性質(zhì),運(yùn)用三角函數(shù)的知識求出MD的長度.
          解答:(1)解:∵∠BOE=60°,
          ∴∠A=
          1
          2
          ∠BOE=30°.(2分)

          (2)證明:在△ABC中,∵cosC=
          1
          2
          ,
          ∴∠C=60°.(1分)
          又∵∠A=30°,
          ∴∠ABC=90°,
          ∴AB⊥BC.(2分)
          ∴BC是⊙O的切線.(3分)

          (3)解:∵點(diǎn)M是
          AE
          的中點(diǎn),
          ∴OM⊥AE.(1分)
          在Rt△ABC中,∵BC=2
          3
          ,
          ∴AB=BC•tan60°=2
          3
          ×
          3
          =6.(2分)
          ∴OA=
          AB
          2
          =3,
          ∴OD=
          1
          2
          OA=
          3
          2
          ,
          ∴MD=
          3
          2
          .(3分)
          點(diǎn)評:本題綜合考查了三角函數(shù)的知識、切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.
          練習(xí)冊系列答案
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