Question

（2013•沈陽模擬）如圖，拋物線y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，頂點為D．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）把△ABC繞AB的中點M旋轉180°，得四邊形AEBC，求點E的坐標，并判四邊形AEBC的形狀，并說明理由；
（3）在直線BC上是否存在一點P，使得△PAD周長最�。咳舸嬖�，請求出點P的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別令x=0以及y=0求出A、B、C三點的坐標．
（2）依題意得出BC∥AE，又已知A、B、C的坐標易求出點E的坐標，又因為四邊形AEBC是平行四邊形且∠ACB=90°可得四邊形AEBC是矩形．
（3）作點A關于BC的對稱點A′，連接A′D與直線BC交于點P．則可得點P是使△PAD周長最小的點，然后求出直線A′D，直線BC的函數(shù)解析式聯(lián)立方程求出點P的坐標．

解答：解：（1）y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

，
令x=0，得y=

3

，
令y=0，
即-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

=0，
即x²+2x-3=0，
∴x₁=1，x₂=-3
∴A，B，C三點的坐標分別為A（-3，0），B（1，0），C（0，

3

）；

（2）如圖1，過點E作EF⊥AB于F，
∵C（0，

3

），
∴EF=

3

，
∵B（1，0），
∴AF=1，
∴OF=OA-AF=3-1=2，
∴E（-2，-

3

），
四邊形AEBC是矩形．
理由：四邊形AEBC是平行四邊形，且∠ACB=90°，

（3）存在．
D（-1，

4 3

3

）
如圖2，作出點A關于BC的對稱點A′，連接A′D與直線BC交于點P．
則點P是使△PAD周長最小的點．
∵AO=3，
∴FO=3，
CO=

3

，
∴A′F=2

3

，
∴求得A′（3，2

3

）
過A′、D的直線y=

3

6

x+

3 3

2

，
過B、C的直線y=-

3

x+

3

，
將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得出：

y= 3 6 x+ 3 3 2 y=- 3 x+ 3

，
解得：

x=- 3 7 y= 10 3 7

，
故兩直線的交點P（-

3

7

，

10 3

7

）．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的有關知識以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式以及利用軸對稱求線段最小值，利用軸對稱得出P點位置是解題關鍵．