Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c（c＞0）與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為A，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，tan∠AOE＝．直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為B．當(dāng)OC＝2AD時(shí)，c的值是_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

設(shè)A（2m，3m）、B（2n，3n），分點(diǎn)A在線段OB上及點(diǎn)B在線段OA上兩種情況，由OC＝2AD，利用相似三角形的性質(zhì)可得出m、n間的關(guān)系，將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線與拋物線對(duì)稱(chēng)軸x＝2m聯(lián)立方程組，解方程組即可求得c的值．

解：由tan∠AOE＝，可設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2m，3m）、（2n，3n），

∵AD∥OC，

∴∠ADB＝∠OCB，∠DAB＝∠COA，

∴△BAD∽△BOC．

①當(dāng)點(diǎn)A在線段OB上時(shí)，如圖1所示．

∵OC＝2AD，

∴D點(diǎn)為線段BC的中點(diǎn)，

∵C（0，c），B（2n，3n），

∴D點(diǎn)橫坐標(biāo)為＝n，

由題意知A、D點(diǎn)均在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，

∴n＝2m，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4m，6m），

∵A，B在拋物線上，且拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x＝2m，

∴有，

解得：，或，

∵c＞0，

∴c＝；

②當(dāng)點(diǎn)B在線段OA上時(shí)，如圖2所示．

∵OC＝2AD，

∴OB＝2AB．

∵C（0，c），B（2n，3n），

∴D點(diǎn)橫坐標(biāo)為×2n＝3n，

由題意知A、D點(diǎn)均在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，

∴n＝m，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m），

∵A，B在拋物線上，且拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x＝2m，

∴有，

解得：，或．

∵c＞0，

∴c＝．

綜上所述：c的值為或．

故答案為：或．