Question

【題目】如圖1，□ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．

（1）求證：四邊形 ABCD 是菱形；

（2）若∠ADC＝60°，BE＝2，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）．

【解析】

（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件推出四邊形OAEB是矩形，從而得出OA⊥OB，即可得證；

（2）由（1）得四邊形OAEB是矩形，四邊形ABCD是菱形，從而推出OA=BE=2，∠ODA=∠ODC=30°，由此可得在Rt△OAD中，OD=，即可得出BD．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，

∵OE=CD，

∴AB=OE，

∵AE∥BD，BE∥AC，

∴四邊形OAEB是平行四邊形，

∴四邊形OAEB是矩形，

∴OA⊥OB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）由（1）可知四邊形OAEB是矩形，

∴OA=BE=2，

由（1）得四邊形ABCD是菱形，

∴∠ODA=∠ODC，AC⊥BD，

又∵∠ADC＝60°，

∴∠ODA=∠ODC=30°，

∴在Rt△OAD中，OD===，

∴BD=2OD=．