Question

【題目】綜合與實踐

一、問題情境

在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“直角三角形的旋轉”為主題開展數學活動．如圖1，矩形ABCD中，AD＝2AB，連接AC，將△ABC繞點A旋轉到某一位置，觀察圖形，提出問題并加以解決．

二、實踐操作，解決問題

(1)如圖2，慎思組的間學將圖1中的△ABC以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，得到△A'B'C'，此時B'C'過點D，則∠ADB′＝____度．

(2)博學組的同學在圖2的基礎上繼續(xù)旋轉到圖3，此時點C落在CD的延長線上，連接BB'，該組提出下面兩個問題，并請你解決該組提出的這兩個問題．

①C'D和AB有何數量關系？并說明理由．

②BB'和AC'有何位置關系？并說明理由．

(3)精英組的同學在圖3的基礎上按逆時針方向旋轉至AB'與對角線AC重合時，B'C'與AD交于點M，如圖4，則S：S△ABC＝_____．

Answer 1

【答案】(1)30；(2)①C′D＝AB；②AC′∥BB′；(3)3：4．

【解析】

(1)由旋轉性質知AB＝AB′、∠B′＝∠B＝90°，結合AD＝BC＝2AB可得AD＝2AB′，根據直角三角形的性質可得答案；

(2)①利用“HL”證Rt△ADC′≌Rt△ABC即可得；②過點C′作C′H垂直于BA延長線于點H，證△C′HA≌△C′B′A得∠HAC′＝∠C′AB，由AB＝AB′知∠ABB′＝∠AB′B，據此根據∠HAB′＝∠ABB′+∠AB′B可得2∠C′AB′＝2∠AB′B，即可得證；

(3)設AB＝a，則BC＝2a，求出MC′：B′C′的值即可解決問題．

解：(1)由題意知△ABC≌△AB′C′，

∴AB＝AB′、∠B′＝∠B＝90°，

∵AD＝BC＝2AB，

∴在Rt△AB′D中，AD＝2AB′，

則∠ADB′＝30°，

故答案為：30；

(2)①C′D＝AB，理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC、∠ABC＝∠ADC＝∠ADC′＝90°，

由旋轉知AC′＝AC，

在Rt△ADC′和Rt△ABC中，

∵ ，

∴Rt△ADC′≌Rt△ABC(HL)，

∴C′D＝AB；

②結論：AC′∥BB′；

理由：如圖a，過點C′作C′H垂直于BA延長線于點H，

則四邊形HADC′是矩形，

∴C′H＝AD、AH＝C′D＝AB，

在△C′HA和△C′B′A中，

∴△C′HA≌△C′B′A(SSS)，

∴∠HAC′＝∠C′AB，

又∵AB＝AB′，

∴∠ABB′＝∠AB′B，

在△ABB′中，∠HAB′＝∠ABB′+∠AB′B，即∠HAC′+∠C′AB′＝∠ABB′+∠AB′B，

∴2∠C′AB′＝2∠AB′B，

∴∠C′AB′＝∠AB′B，

∴AC′∥BB′；

(3)如圖4中，設AB＝a，則BC＝2a，

∵AD∥BC，

∴∠MAB′＝∠ACB，

∵∠AB′M＝∠B＝90°，

∴△AB′M∽△CBA，

∴B′M：AB＝AB′：BC，

∴B′M：a＝a：2a，

∴BM′＝

∵B′C′＝2a，

∴MC′＝

∴MC′：B′C′＝3：4，

∴S△AC′M：S△ABC＝3：4，

故答案為：3：4．