Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC=6，cosB=

1

3

，⊙O的半徑為OB，圓心在AB上，且分別與邊AB、BC相交于D、E兩點(diǎn)，但⊙O與邊AC不相交，又EF⊥AC，垂足為F．設(shè)OB=x，CF=y．
（1）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）設(shè)OB=x，CF=y．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)直線DF與⊙O相切時(shí)，求OB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）要想證EF是⊙O的切線，只要連接OE，求證∠OEF=90°即可；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，可以證明△BOE∽△BAC及應(yīng)用三角形的性質(zhì)將兩者結(jié)合求出；EF、DF與⊙O相切，易證四邊形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的長(zhǎng)．

解答：解：（1）直線EF與⊙O相切（1分）
理由：如圖①，連接OE，則OE=OB，∠OBE=∠OEB．
∵AB=AC，
∴∠OBE=∠C．
∴∠OEB=∠C．
∴OE∥AC．（2分）
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE．
∵點(diǎn)E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切線．（4分）

（2）①如圖②，作AH⊥BC，H為垂足，并連接OE，那么BH=

1

2

BC，
∵AB=6，cosB=

1

3

，
∴BH=2，BC=4．（5分）
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴

BE

BC

=

OE

AC

．
即

BE

4

=

x

6

．
∴BE=

2x

3

．
∴EC=4-

2

3

x．（7分）
在Rt△ECF中，cosC=cosB=

1

3

，
∴CF=EC•cosC=(4-

2

3

x)•

1

3

．
∴所求函數(shù)的關(guān)系式為y=

4

3

-

2

9

x．（8分）

②如圖③，連接OE，DE，OF，由EF、DF與⊙O相切，
∴FD=FE，且∠DFO=∠EFO．
∴OF垂直平分DE．（10分）
∵∠DEB=90°，
∴BC⊥DE．
∴OF∥BC．
∴四邊形OBCF是等腰梯形．
∴OB=CF，得

4

3

-

2

9

x=x．
解得：x=

12

11

．
即OB=

12

11

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了相似三角形，等腰梯形的性質(zhì)解決函數(shù)問題．