Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），C是線段AB的中點(diǎn)．請問在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB中，∠A是公共角，如果兩三角形相似，有兩種情況，即P與B，P與O分別對應(yīng)，因此要分類討論．

解答：解：存在這樣的P點(diǎn)．理由如下：
∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6；
∴AB=10．
∵C是線段AB的中點(diǎn)，
∴AC=5．
①如果P與B對應(yīng)，那么△PAC∽△BAO，
∴PA：BA=AC：AO，∴AP=

25

4

，
∴OP=OA-AP=

7

4

，∴P（

7

4

，0）．
②或如果P與O對應(yīng)，那么△PAC∽△OAB；
∴PA：OA=AC：AB，
∴PA=4，
∴OP=OA-AP=4
∴P（4，0）．

點(diǎn)評：本題屬于開放性試題，通過對點(diǎn)P位置的判斷有利于考查學(xué)生的發(fā)散思維能力．