Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（2，3）為圓心，5為半徑的圓交x軸于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為D；過點(diǎn)B作⊙M的切線，與直線MD交于N點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B、點(diǎn)N的坐標(biāo)以及直線BN的解析式；
（2）求過A、N、B、三點(diǎn)（對稱軸與y軸平行）的拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線與y軸交于點(diǎn)P，以點(diǎn)D，B，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)作平行四邊形，請你求出第四個(gè)頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并判斷Q是否在（2）中的拋物線上．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)圓的方程求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出直線BN的解析式，即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)拋物線的對稱軸和點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并由此判斷出Q是否在拋物線上．

解答：解：（1）連接BM
則BM=5，DM=3
BD=

BM2-DM2

=

52-32

=4
∴BO=BD-OD=4-2=2
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2，0），
∵直線BN和BM垂直，
∴△MBD∽△MNB，
∴

MB

MN

=

MD

MB

，
∴

5

MN

=

3

5

，
∴MN=

25

3

，
∴DN=

25

3

-3=

16

3

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2，-

16

3

），
設(shè)直線BN的解析式是y=kx+b（k≠0），
把B（-2，0）N（2，-

16

3

）代入函數(shù)的解析式得：

0=-2k+b - 16 3 =2k+b

，
解得k=-

4

3

，b=-

8

3

，
∴直線BN的解析式是；y=-

4

3

x-

8

3

；

（2）點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=2對稱，
所以x=2就是拋物線的對稱軸那么設(shè)拋物線的方程為y=a（x-2）²-

16

3

，
將A（6，0）代入 0=16a-

16

3

，
a=

1

3

，
那么y=

1

3

（x-2）²-

16

3

=

1

3

x²-

4

3

x-4；

（3）令x=0，y=-4，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，-4）若構(gòu)成平行四邊形，那么Q的縱坐標(biāo)為-4，
設(shè)橫坐標(biāo)為a，
∵AD=4，
∴a=4 點(diǎn)Q坐標(biāo)（4，-4）將x=4代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4=-4，
Q₁（-4，-4）；Q₂（4，-4）；Q₃（0，4），
Q₂在拋物線上是Q的橫坐標(biāo)，所以點(diǎn)Q在拋物線上．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)和解析式求法，要會(huì)根據(jù)已知條件求點(diǎn)的坐標(biāo)并判斷出是否在拋物線上．