Question

如圖，在直角坐標平面上，點A、B在x軸上（A點在B點左側），點C在y軸正半軸上，若A（-1，0），OB=3OA，且tan∠CAO=2．
（1）求點B、C的坐標；
（2）求經過點A、B、C三點的拋物線解析式；
（3）P是（2）中所求拋物線的頂點，設Q是此拋物線上一點，若△ABQ與△ABP的面積相等，求Q點的坐標．

Answer 1

解：（1）如圖，∵點A、B在x軸上（A點在B點左側），A（-1，0），OB=3OA，
∴B（3，0）．
又∵tan∠CAO=2，點C在y軸正半軸上，
∴=2，則CO=2OA=2，
∴C（0，2）
綜上所述，點B、C的坐標分別是：（3，0），（0，2）；

（2）∵該拋物線與x軸的兩個交點坐標是：A（-1，0），B（3，0），
∴設過點A、B、C的拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0）．
把點C的坐標代入，得
2=a（0+1）（0-3），
解得，a=-，
則該拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-3）（或y=-x²+x+2）；

（3）由（2）中拋物線解析式得到：y=-（x-1）²+，則頂點P的坐標是（1，）．
∵△ABQ與△ABP的面積相等，且點Q是拋物線上的一點
∴點Q與點P到x軸的距離相等，
∴點Q是直線y=±與拋物線的交點．
①當y=時，x=1，此時，點Q與點P重合，即Q（1，）；
②當y=-時，-（x-1）²+=-，
解得，x₁=1+2，x₂=1-2，此時，點Q的坐標是（1+2，-）或（1-2，-）
綜上所述，符合條件的點Q的坐標是：（1，）、（1+2，-）或（1-2，-）．
分析：（1）根據(jù)已知條件“A（-1，0），OB=3OA，且tan∠CAO=2”易求點B、C的坐標；
（2）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0）．然后把點C的坐標分別代入，求得a的值；
（3）根據(jù)“同底等高的兩個三角形的面積相等”可知，點Q是直線y=與拋物線的交點．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到了坐標與圖形的性質，銳角三角函數(shù)的定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及一次函數(shù)與拋物線的交點問題．解答（2）題時，因為已知拋物線與x軸的兩個交點坐標，所以設交點式關系式，可以減少繁瑣的計算過程．