Question

如圖，拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y₂，兩條拋物線相交于點C．

（1）請直接寫出拋物線y₂的解析式；

（2）若點P是x軸上一動點，且滿足∠CPA=∠OBA，求出所有滿足條件的P點坐標；

（3）在第四象限內拋物線y₂上，是否存在點Q，使得△QOC中OC邊上的高h有最大值？若存在，請求出點Q的坐標及h的最大值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）拋物線向右平移4個單位的頂點坐標為（4，－1），

∴拋物線y₂的解析式為。

（2）當x=0時，y₁=﹣1，y₁=0時，=0，解得x=1或x=－1，

       ∴點A（1，0），B（0，－1）�！唷螼BA=45⁰。

聯立，解得。

∴點C的坐標為（2，3）。

∵∠CPA=∠OBA，

∴點P在點A的左邊時，坐標為（－1，0）；在點A的右邊時，坐標為（5，0）。

∴點P的坐標為（－1，0）或（5，0）。

（3）存在。

∵點C（2，3），∴直線OC的解析式為，

設與OC平行的直線，

聯立，消掉y得，，

當△=0，方程有兩個相等的實數根時，△QOC中OC邊上的高h有最大值，

此時，由一元二次方程根與系數的關系，得，

∴此時，。

∴存在第四象限的點Q（，），使得△QOC中OC邊上的高h有最大值，

此時，解得。

∴過點Q與OC平行的直線解析式為。

令y=0，則，解得。

設直線與x軸的交點為E，則E（，0）。

過點C作CD⊥x軸于D，

根據勾股定理，，

則由面積公式，得，即。

∴存在第四象限的點Q（，），使得△QOC中OC邊上的高h有最大值，最大值為。

【解析】（1）寫出平移后的拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式解析式寫出即可。

（2）根據拋物線解析式求出點A、B的坐標，然后求出∠OBA=45°，再聯立兩拋物線解析式求出交點C的坐標，再根據∠CPA=∠OBA分點P在點A的左邊和右邊兩種情況求解。

（3）先求出直線OC的解析式為y=x，設與OC平行的直線y=x+b，與拋物線y₂聯立消掉y得到關于x的一元二次方程，再根據與OC的距離最大時方程有且只有一個根，然后利用根的判別式△=0列式求出b的值，從而得到直線的解析式，再求出與x軸的交點E的坐標，得到OE的長度，再過點C作CD⊥x軸于D，然后根據面積公式求解即可得到h的值。