Question

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-1），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，8）
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)該拋物線與y軸相交于點(diǎn)B，與x軸相交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），試求點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P是x軸任一點(diǎn)，連接AP、BP．試求當(dāng)AP+BP取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用頂點(diǎn)式將頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，-1）代入，進(jìn)而求出a的值即可；
（2）利用圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法，分別求出即可；
（3）首先利用B點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′（0，-3），連接AB′交x軸于點(diǎn)P，利用軸對(duì)稱(chēng)得出AP+BP的最小值為線段AB′進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出解析式，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，
∵拋物線經(jīng)過(guò)A（5，8），∴8=a（5-2）²-1，
解得：a=1
∴y=（x-2）²-1（或y=x²-4x+3）；

（2）令x=0得y=3，
故B （0，3 ）
令y=0得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
進(jìn)而得出（1，0 ），D （3，0 ）；

（3）取點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′（0，-3），連接AB′交x軸于點(diǎn)P．
則PB=PB′，∴AP+BP=AP+PB′=AB′，
而PB′為直線段，∴AP+BP的最小值為線段AB′．
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b過(guò)點(diǎn)A（5，8）和B′（0，-3），
∴

8=5k+b -3=b

，
解得：

k= 11 5 b=-3

，得AB′的解析式為：y=

11

5

x-3，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

15

11

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

15

11

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．