Question

【題目】如圖1，拋物線：與直線l：交于x軸上的一點(diǎn)A，和另一點(diǎn)

求拋物線的解析式；

點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間，但不包括A，B兩點(diǎn)于點(diǎn)M，軸交AB于點(diǎn)N，求MN的最大值；

如圖2，將拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，再作適當(dāng)平移得到拋物線，已知拋物線的頂點(diǎn)E在第一象限的拋物線上，且拋持線與拋物線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作軸交拋物線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作軸交拋物線于點(diǎn)G，是否存在這樣的拋物線，使得四邊形DFEG為菱形？若存在，請(qǐng)求E點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，四邊形DFEG為菱形

【解析】

求直線l與x軸交點(diǎn)A坐標(biāo)、B坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．

延長(zhǎng)PN交x軸于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，由軸可得點(diǎn)N、H橫坐標(biāo)也為m，即能用m表示PN、NH、AH的長(zhǎng)．由及對(duì)頂角可得發(fā)現(xiàn)在中，MN與PN比值即為，故先在中求的值，再代入，即得到MN與m的函數(shù)關(guān)系式，配方即求得MN最大值．

設(shè)點(diǎn)，所以可設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為令兩拋物線解析式列得關(guān)于x的方程，解得兩拋物線的另一交點(diǎn)D即為拋物線的頂點(diǎn)，故DG，且求得DF平行且等于GE，即四邊形DFEG首先一定是平行四邊形．由DFEG為菱形可得，故此時(shí)為等邊三角形．利用特殊三角函數(shù)值作為等量關(guān)系列方程，即求得e的值．

解：直線l：交x軸于點(diǎn)A，

，解得：，

，

點(diǎn)在直線l上，

，

，

拋物線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，

，

解得：，

拋物線的解析式為，

如圖1，延長(zhǎng)PN交x軸于點(diǎn)H，

，

設(shè) ，

軸，

，

，，

，，

中，，

，

于點(diǎn)M，

，

，

，

中，，

，

的最大值為，

存在滿足條件的拋物線，使得四邊形DFEG為菱形，

如圖2，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)Q，

，

拋物線頂點(diǎn)為 ，

設(shè) ，

拋物線頂點(diǎn)式為，

當(dāng)，

解得：，，

兩拋物線另一交點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，

軸，軸，

，，

四邊形DFEG是平行四邊形，

若DFEG為菱形，則，

由拋物線對(duì)稱(chēng)性可得：，

，

是等邊三角形，

，

，

解得：舍去，，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，四邊形DFEG為菱形．