Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-4的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），且與y軸交于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在y軸正半軸時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，將函數(shù)y=x²-2mx+m²-4的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象Ω．當(dāng)直線y=

1

2

x+b與圖象Ω有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令y=0求得方程的兩個(gè)解，即得出A、B、D的坐標(biāo)；再根據(jù)點(diǎn)D在y軸正半軸，分情況討論，從而得出m的值；
（2）由已知條件，得出A、B的坐標(biāo)，即得出拋物線的頂點(diǎn)，由直線與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求出b的不同值，再得出b的取值范圍即可．

解答：解：令y=0得x²-2mx+m²-4=0，解得x₁=m-2，x₂=m+2，
∴A（m-2，0），B（m+2，0），D（0，m²-4），
（1）∵點(diǎn)D在y軸正半軸，
∴m²-4＞0，設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形，則BO=OD，
即|m+2|=m²-4，
①當(dāng)m+2＞0時(shí)，m²-4=m+2，解得m=3或m=-2（舍去）；
②當(dāng)m+2＜0時(shí)，m²-4+m+2=0，解得m=1或m=-2（都舍去）；
③當(dāng)m+2=0時(shí)，點(diǎn)O、B、D重合，不合題意，舍去；
綜上所述，m=3．

（2）當(dāng)m=-1時(shí)，y=x²+2x-3，則A（-3，0），B（1，0）頂點(diǎn)為（-1，-4）
因?yàn)橹本�y=

1

2

x+b與圖象Ω有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則當(dāng)直線y=

1

2

x+b過(guò)A點(diǎn)時(shí)b=

3

2

，
當(dāng)直線y=

1

2

x+b過(guò)B（1，0）時(shí)，b=-

1

2

，
當(dāng)直線y=

1

2

x+b與y=-x²-2x+3只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b=

73

16

，
根據(jù)圖象，可得-

1

2

＜b＜

3

2

或b＞

73

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，需注意分類(lèi)討論各種情況．綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（2）中弄清直線與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．