Question

如圖，A是半圓上的一個二等分點(diǎn)，B是半圓上的一個六等分點(diǎn)，P是直徑MN上的一個動點(diǎn)，⊙O半徑，則PA+PB的最小值是（    ）．

A．2

B．

C．

D．

Answer 1

C

本題是要在MN上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，設(shè)A′是A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，連接A′B，與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．此時PA+PB=A′B是最小值，可證△OA′B是等腰三角形，從而得出結(jié)果．

解：作點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，交MN于點(diǎn)P，連接OA′，AA′．作OQ⊥AB，
∵點(diǎn)A與A′關(guān)于MN對稱，點(diǎn)A是半圓上的一個二等分點(diǎn)，
∴∠A′ON=∠AON=90°，PA=PA′，
∵B是半圓上的一個六等分點(diǎn)，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=120°，
又∵OA=OA′=1，∠A′=30°，
∴A′Q=OA′cos30°=，
∴A′B=．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．
故選：C．
此題考查了軸對稱-最短路線問題，正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，確定點(diǎn)P的位置這類題在課本中有原題，因此加強(qiáng)課本題目的訓(xùn)練至關(guān)重要．