Question

如圖，頂點(diǎn)為P （4 ，-4 ）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)（0 ，0 ），點(diǎn)A 在該圖象上，OA 交其對稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱，連接AN、ON。
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（6，-3），求△ANO的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動，請解答下列問題：
①證明：∠ANM=∠ONM；
②△ANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)，如果不能，請說明理由。

Answer 1

解：（1 ）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P （4 ，-4 ）， ∴設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為，                   又∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)（0，0）， ∴，解得，                   ∴二次函數(shù)的關(guān)系式為，即，             （2）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，將A（6，-3）代入得-3=6k，解得，                 ∴直線OA的解析式為，   把x=4代入得y=-2， ∴M（4，-2）， 又∵點(diǎn)M 、N 關(guān)于點(diǎn)P 對稱， ∴N （4 ，-6 ），MN=4 ， ∴； （3）①證明：過點(diǎn)A作AH⊥l于點(diǎn)H，，l與x軸交于點(diǎn)D。則，設(shè)A（）， 則直線OA 的解析式為， 則M（），N（），H（）。 ∴OD=4，ND=x0，HA=，NH=。 ∴， ∴， ∴∠ANM=∠ONM； ②不能。理由如下：分三種情況討論： 情況1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450， ∴△AHN是等腰直角三角形�！郒A=NH，即。 整理，得，解得， ∴此時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合。故此時(shí)不存在點(diǎn)A，使∠ONA是直角。 情況2，若∠AON是直角，則， ∵ ， ∴， 整理，得，解得。 ∴此時(shí)，故點(diǎn)A與原點(diǎn)或與點(diǎn)P重合。故此時(shí)不存在點(diǎn)A，使∠AON是直角。 情況3，若∠NAO是直角，則△AMN∽△DMO∽△DON， ∴， ∵OD=4，MD=，ND=， ∴， 整理，得， 解得， ∴此時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合。故此時(shí)不存在點(diǎn)A，使∠ONA是直角， 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)A在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動時(shí)，△ANO不能成為直角三角形。