Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E為AB的中點(diǎn)，在AC上求作點(diǎn)P，使EP+BP的值最小．
（1）畫出點(diǎn)P的位置（保留作圖痕跡，不寫畫法）；
（2）若AD=6，∠DAC=30°，求EP+BP的最小值．

Answer 1

分析：（1）連接DE交AC與點(diǎn)P或在AD邊上取中點(diǎn)E′，再連接BE′交AC于點(diǎn)P都可以；
（2）首先證明△ABC≌△ADC，進(jìn)而得出△ABD為等邊三角形，由“三線合一”得DE⊥AB，最后用勾股定理求得EP+BP的最小值等于DE．

解答：解：（1）畫法如圖（連接DE交AC與點(diǎn)P或在AD邊上取中點(diǎn)E′，再連接BE′交AC于點(diǎn)P都正確），
；

（2）如圖3，連接BD，
∵在△ABC和△ADC中，

AD=AB DC=CB AC=AC

∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAB=2∠DAC=60°，
∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
由“三線合一”得DE⊥AB，
故EP+BP的最小值為：PE+PB=DE=

AD2-AE2

=

36-9

=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了軸對(duì)稱最短路線求法以及全等三角形的判定和等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出DE=PE+PB是解題關(guān)鍵．