Question

如圖，已知一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象相交于A（1，

3

）、B（-3，-

3

3

）兩點(diǎn)，且與x軸相交于點(diǎn)C．連接OA、OB．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）若點(diǎn)Q為反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）圖象上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、Q、O為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A，B的坐標(biāo)代入解析式，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）求得一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC即可求解；
（3）根據(jù)三角函數(shù)即可確定∠ACO=30°，判斷△OAC是底角為30°的等腰三角形，作QH⊥x軸，H為垂足，Rt△QOH中利用三角函數(shù)即可求得Q的坐標(biāo)．
取OP₁=2OH=2

3

，則∠QP₁O=30°．過點(diǎn)Q作∠P₂QO=30°，交x軸于點(diǎn)P₂，則△OP₂Q∽△COA．根據(jù)雙曲線的對稱性，故可將△AOC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到△Q′O P₃，由此可得點(diǎn) Q′必在雙曲線左支上，點(diǎn)P₃在x軸正半軸上．即可求解．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A、B兩點(diǎn)，
∴

3 =a+b - 3 3 =-3a+b

與

3

=

k

1

，∴

a= 3 3 b= 2 3 3

，k=

3

．（3分）
∴所求一次函數(shù)的解析式是y=

3

3

x+

2

3

3

，
所求反比例函數(shù)的解析式是y=

3

x

．（4分）

（2）解法（一）：由一次函數(shù)y=

3

3

x+

2

3

3

，令y=0，得x=-2．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-2，0）．（5分）
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×2×

3

+

1

2

×2×

3

3

（6分）=

4

3

3

．（8分）
解法（二）：分別過點(diǎn)A、B作AE⊥x軸于E，BF⊥y軸于F，且分別延長相交于G，
∴S_△AOB=S_△ABG-S_△BOF-S_△AOE-S_矩形OFGE=

1

2

BG•AG-

1

2

BF•OF-

1

2

OE•AE-OE•OF=

1

2

×4×

4

3

3

-

1

2

×3×

3

3

-

1

2

×1×

3

-1×

3

3

（6分）=

4

3

3

．（8分）

（3）設(shè)直線AC交y軸于點(diǎn)D，
∵y=

3

3

x+

2

3

3

，
∴OD=

2

3

3

．
在Rt△COD中，
∵tan∠DCO=

OD

OC

=

2 3 3

2

=

3

3

，
∴∠DCO=30°，即∠ACO=30°．
在Rt△AOE中，
∵tan∠AOE=

AE

OE

=

3

1

=

3

，
∴∠AOE=60°．∴∠OAC=∠AOE-∠ACO=30°．
∴△OAC是底角為30°的等腰三角形．（9分）
作∠QOX=30°與反比例函數(shù)y=

3

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)Q，設(shè)Q（m，

3

m

），
作QH⊥x軸，H為垂足，
在Rt△QOH中，tan30°=

3 m

m

，∴m²=3，∴m=

3

（取正數(shù)）
∴Q(

3

，1)（10分）
取OP₁=2OH=2

3

，則∠QP₁O=30°．
∴△P₁QO∽△AOC．∴p1(2

3

，0)．（11分）
過點(diǎn)Q作∠P₂QO=30°，交x軸于點(diǎn)P₂，∴△OP₂Q∽△COA．
由∠QP₂H=60°，得

QH

QP2

=sin60°=

3

2

，
∴P₂Q=

2 3

3

．∴P2(

2

3

3

，0)．（12分）
根據(jù)雙曲線的對稱性，故可將△AOC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到△Q′O P₃，由此可得點(diǎn) Q′必在雙曲線左支上，點(diǎn)P₃在x軸正半軸上．
∴Q′(-1，-

3

)，P₃（2，0）．（14分）
綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)分別是p1(2

3

，0)，p2(

2

3

3

，0)，P₃（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，注意通過解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)．同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．