Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與AC相切于一點(diǎn)E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若AD=2

3

，CF=

3

，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OE，由AC是⊙O的切線，得OE⊥AC，再根據(jù)題意得OE∥BF，則∠OED=∠F，OD=OE，從而得出∠F=∠BDF，即BD=NF；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，由OE∥BF，可證明△AOE∽△ABC，則

OE

BC

=

OA

AB

，即可求得r，進(jìn)而得出⊙O的面積．

解答：（1）證明：連接OE，∵AC是⊙O的切線，
∴OE⊥AC
又∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠OED=∠F，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
 即BD=BF；             （4分）

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，
∵OE∥BF，
∴△AOE∽△ABC，
∴

OE

BC

=

OA

AB

，

r

2r- 3

=

r+2 3

2r+2 3

，
解得r=2

3

，
∴S_⊙O=π×(2

3

)2=12π．（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，本題涉及的知識(shí)點(diǎn)：兩直線平行，等腰三角形的判定、三角形相似、圓的面積．