Question

一張矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
（1）如圖，將紙片沿CE對折，使點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）中，設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為P，如果點(diǎn)B、P在拋物線y=x²+bx+c上，求b、c的值；
（3）如果將矩形紙片沿某直線l對折，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)F處，且BF與l的交點(diǎn)Q恰好落在（2）的拋物線上．除了上述的點(diǎn)D外，這樣的點(diǎn)F是否存在？如果存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由對折可知BC=CD=5，運(yùn)用勾股定理即可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由圖形的對稱性和梯形的中位線定理求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得解析式即可；
（3）利用（2）中的求法，假設(shè)點(diǎn)F分別落在x、y軸上，進(jìn)一步利用圖形的對稱性表示出點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式解決問題．

解答：解：（1）OD=

CD2-OC2

=

52-42

=3，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）；

（2）由折疊知，CE垂直平分BD，P是BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作OA的平行線，交OC于點(diǎn)H，則PH是梯形ODBC的中位線，

∴P(

OD+BC

2

，

OC

2

)，
即P（4，2）；
又∵點(diǎn)B（5，4）和點(diǎn)P（4，2）在拋物線y=x²+bx+c上，
∴

4=52+5b+c 2=42+4b+c

，
解得b=-7，c=14；

（3）由（2）知，拋物線的解析式為y=x²-7x+14，
假設(shè)點(diǎn)F存在，
當(dāng)點(diǎn)F在x軸上時(shí)，設(shè)F（m，0），
則BF與直線l的交點(diǎn)Q的為(

m+5

2

，2)，
代入拋物線的解析式，解得：m=1或m=3，
即所求坐標(biāo)為F（1，0）或F（3，0）（怒為點(diǎn)D）；
當(dāng)點(diǎn)F在y軸上時(shí)，設(shè)F（0，n），則Q(

5

2

，

n+4

2

)，
代入拋物線解析式，解得n=

3

2

，
即所求坐標(biāo)為F(0，

3

2

)．

點(diǎn)評：此題考查利用勾股定理，圖形的對稱性，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及梯形的中位線等知識解決問題．