Question

（2013•桐鄉(xiāng)市一模）定義：如圖，若雙曲線(xiàn)y=

k

x

（k＞0）與它的其中一條對(duì)稱(chēng)軸y=x相交于兩點(diǎn)A，B，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)稱(chēng)為雙曲線(xiàn)y=

k

x

（k＞0）的對(duì)徑．
（1）求雙曲線(xiàn)y=

1

x

的對(duì)徑；
（2）若某雙曲線(xiàn)y=

k

x

（k＞0）的對(duì)徑是10

2

．求k的值．

Answer 1

分析：過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于C．
（1）先解方程組

y= 1 x y=x

，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），即OC=AC=1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA=

2

OC=

2

，則AB=2OA=2

2

，于是得到雙曲線(xiàn)y=

1

x

的對(duì)徑；
（2）根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)徑的定義得到當(dāng)雙曲線(xiàn)的對(duì)徑為10

2

即AB=10

2

，OA=5

2

，根據(jù)OA=

2

OC=

2

AC，則OC=AC=5，得到點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，5），把A（5，5）代入雙曲線(xiàn)y=

k

x

（k＞0）即可得到k的值．

解答：解：過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，如圖．
（1）解方程組

y= 1 x y=x

，得

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=

2

OC=

2

，
∴AB=2OA=2

2

，
∴雙曲線(xiàn)y=

1

x

的對(duì)徑是2

2

；

（2）∵雙曲線(xiàn)的對(duì)徑為10

2

即AB=10

2

，OA=5

2

，
∴OA=

2

OC=

2

AC，
∴OC=AC=5，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，5），
把A（5，5）代入雙曲線(xiàn)y=

k

x

（k＞0）得k=5×5=25，
即k的值為25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿(mǎn)足其解析式；等腰直角三角形的斜邊是直角邊的

2

倍；強(qiáng)化理解能力．