Question

（本題滿分14分，其中第（1）、（2）小題各4分，第（3）小題6分）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,1）和點(diǎn)B（2,2），該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與直線OA、OB分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D．

1.（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式和它的對(duì)稱軸；

2.（2）求證：∠ABO=∠CBO；

3.（3）如果點(diǎn)P在直線AB上，且△POB

與△BCD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）解：由題意，得………………………………………（1分）

解得………………………………………………………………（1分）

∴所求二次函數(shù)的解析式為．……………………（1分）

對(duì)稱軸為直線x=1．

2.（2）證明：由直線OA的表達(dá)式y=-x，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,-1）．…………（1分）

∵，，∴AB=BC．…………………………………（1分）

又∵，，∴OA=OC．………………………………（1分）

∴∠ABO=∠CBO．

3.（3）解：由直線OB的表達(dá)式y=x，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,1）．………………（1分）

由直線AB的表達(dá)式，

得直線與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4,0）．………………………………（1分）

∵△POB與△BCD相似，∠ABO=∠CBO，

∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．

（i）當(dāng)∠BOP=∠BDC時(shí)，由∠BDC==135°，得∠BOP=135°．

∴點(diǎn)P不但在直線AB上，而且也在x軸上，即點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4,0）．…………………………………………………（2分）

（ii）當(dāng)∠BOP=∠BCD時(shí)，

由△POB∽△BCD，得．

而，，，∴．

又∵，∴．

作PH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，BF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F．

∵PH∥BF，∴．

而BF=2，EF=6，∴，．

∴．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（,）．………………………………………………（2分）

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4,0）或（,）

【解析】略