Question

（2013•許昌一模）拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當(dāng)△BDC的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，延長DP交x軸于點F，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段DF上一點，當(dāng)△BDC的面積最大時，若∠MNC=90°，請直接寫出實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由y=ax²+bx+3經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先令x=0，求得點C的坐標(biāo)，然后設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，由待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=-x+3，再設(shè)P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），求出PD的長，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，得到S_△BDC=-

3

2

（a-

3

2

）²+

27

8

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)△BDC的面積最大時，點P的坐標(biāo)；
（3）將x=

3

2

代入拋物線解析式y(tǒng)=-x²+2x+3求出點P的縱坐標(biāo)，過點C作CG⊥DF，然后分①點N在DG上時，點N與點D重合時，點M的橫坐標(biāo)最大，然后根據(jù)勾股定理得出CD²+DM²=CM²，列出關(guān)于m的方程，解方程求出m的最大值；②點N在線段GF上時，設(shè)GN=x，然后表示出NF，根據(jù)同角的余角相等求出∠NCG=∠MNF，然后證明△NCG和△MNF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式用x表示出MF，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出y的最大值，然后求出MO，從而得到點M的坐標(biāo)，求出m的最小值．

解答：解：（1）由題意得：

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得：

a=-1 b=2

，
故拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）令x=0，則y=3，即C（0，3）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，
則

b′=3 3k+b′=0

，解得：

k=-1 b′=3

，
故直線BC的解析式為y=-x+3．
設(shè)P（a，3-a），則D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB=

1

2

PD•a+

1

2

PD•（3-a）=

1

2

PD•3=

3

2

（-a²+3a）=-

3

2

（a-

3

2

）²+

27

8

，
∴當(dāng)a=

3

2

時，△BDC的面積最大，此時P（

3

2

，

3

2

）；

（3）將x=

3

2

代入y=-x²+2x+3，得y=-（

3

2

）²+2×

3

2

+3=

15

4

，
∴點D的坐標(biāo)為（

3

2

，

15

4

）．
過點C作CG⊥DF，則CG=

3

2

．
①點N在DG上時，點N與點D重合時，點M的橫坐標(biāo)最大．
∵∠MNC=90°，∴CD²+DM²=CM²，
∵C（0，3），D（

3

2

，

15

4

），M（m，0），
∴（

3

2

-0）²+（

15

4

-3）²+（m-

3

2

）²+（0-

15

4

）²=（m-0）²+（0-3）²，
解得m=

27

8

．
∴點M的坐標(biāo)為（

27

8

，0），
即m的最大值為

27

8

；
②點N在線段GF上時，設(shè)GN=x，則NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNG+∠MNF=90°，
又∵∠CNG+∠NCG=90°，
∴∠NCG=∠MNF，
又∵∠NGC=∠MFN=90°，
∴Rt△NCG∽△MNF，
∴

CG

NF

=

GN

MF

，即

3 2

3-x

=

x

MF

，
整理得，MF=-

2

3

x²+2x=-

2

3

（x-

3

2

）²+

3

2

，
∴當(dāng)x=

3

2

時（N與P重合），MF有最大值

3

2

，
此時M與O重合，
∴M的坐標(biāo)為（0，0），
∴m的最小值為0，
故實數(shù)m的變化范圍為0≤m≤

27

8

．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、勾股定理等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．