Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．


（1）求證：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？請直接做出判斷，不需要證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：延長AE、BC交于點N，如圖1（1），

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠ENC，

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE，

∴∠ENC=∠MAE，

∴MA=MN，

在△ADE和△NCE中， ，

∴△ADE≌△NCE（AAS），

∴AD=NC，

∴MA=MN=NC+MC=AD+MC；

（2）

解：AM=DE+BM成立，

理由如下：過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，如圖1（2）所示．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC，

∵AF⊥AE，

∴∠FAE=90°，

∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE，

在△ABF和△ADE中， ，

∴△ABF≌△ADE（ASA），

∴BF=DE，∠F=∠AED，

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE，

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM，

∴∠F=∠FAM，

∴AM=FM，

∴AM=FB+BM=DE+BM．

【解析】（1）延長AE、BC交于點N，如圖1（1）所示，由四邊形ABCD為正方形，得到AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由AE為角平分線得到一對角相等，根據(jù)DE=CE，利用AAS得到三角形ADE與三角形NCE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AD=NC，由MN=MC+CN，等量代換即可得證；（2）AM=DE+BM成立，理由為：過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，如圖1（2）所示，由四邊形ABCD為正方形，得到四個內(nèi)角為直角，AB=AD，且AB與DC平行，根據(jù)AF與AE垂直，利用等角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形ABF與三角形ADE全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等得到BF=DE，∠F=∠AED，再由AB與DC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，等量代換得到一對角相等，利用等角對等邊得到AM=FM，等量代換即可得證．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．