Question

已知：如圖，點C在線段AB上，以AC和BC為邊在AB的同側作正三角形△ACM和△BCN，連接AN、BM，分別交CM、CN于點P、Q．求證：PQ∥AB．

Answer 1

分析：首先證明△ACN≌△MCB可得∠ANC=∠MBC，再證明△PCN≌△QCB可得PC=QC，再有∠MCN=60°可得△PCQ是等邊三角形，進而得到∠PQC=60°，可證明PQ∥AB．

解答：證明：∵△ACM和△BCN都是正三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=CM，BC=CN．
∵點C在線段AB上，
∴∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°．
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN=120°．
即∠NCA=∠BCM=120°．
∵在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACN=∠BCM CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴∠ANC=∠MBC．
∵在△PCN和△QCB中，

∠ANC=∠MBC ∠MCN=∠BCN CN=CB

，
∴△PCN≌△QCB（AAS）．
∴PC=QC．
∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等邊三角形．
∴∠PQC=60°，
∴∠PQC=∠QCB．
∴PQ∥AB．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△PCQ是等邊三角形是解決問題的關鍵．