Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系中矩形OABC如圖，且A（6，0）、C（0，10），P點(diǎn)從C出發(fā)沿折線COA勻速運(yùn)動、Q點(diǎn)從O出發(fā)沿折線OAB勻速運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動t秒，且速度均為每秒2個(gè)單位長度，設(shè)S_△OPQ=S．
（1）已知直線y=mx+m-2平分矩形OABC面積，求m的值；（經(jīng)驗(yàn)之談：過對稱中心的任意一條直線均可將中心對稱圖形分成面積相等的兩部分．）
（2）當(dāng)P點(diǎn)在CO上、Q點(diǎn)在OA上時(shí)，t為何值有S=12？
（3）求在此運(yùn)動過程中S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）先求出矩形OABC對稱中心的坐標(biāo)，把此坐標(biāo)代入直線y=mx+m-2即可得出m的值；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在CO上、Q點(diǎn)在OA上時(shí)，OP=10-2t，OQ=2t，再根據(jù)三角形的面積公式求出t的值即可；
（3）分0＜t≤3，3＜t＜5，5＜t≤8三種情況解答即可．

解答：解：（1）∵在平面直角坐標(biāo)系中矩形OABC中A（6，0）、C（0，10），
∴矩形OABC的對稱中心為（3，5），
∴5=3m+m-2，解得m=

7

4

；

（2）∵當(dāng)P點(diǎn)在CO上、Q點(diǎn)在OA上時(shí)，OP=10-2t，OQ=2t，
∴S=

1

2

（10-2t）×2t=12，解得t₁=3，t₂=2；

（3）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，OP=10-2t，OQ=2t，
∴S=

1

2

（10-2t）•2t=-2t²+5；
當(dāng)3＜t＜5時(shí)，點(diǎn)P在OC上，點(diǎn)Q在AB上，
∴OP=10-2t，AQ=2t-6，
∴S=

1

2

（10-2t）（2t-6）×6
=-12t²+96t-180；
當(dāng)5＜t≤8時(shí)AP=16-2t，AQ=2t-6，
∴S=

1

2

（16-2t）（2t-6）=-2t²+222t+8．

點(diǎn)評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到三角形及梯形的面積公式、矩形的性質(zhì)等知識，難度適中．