Question

如圖，拋物線y=﹣x²+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專(zhuān)題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出求出m、n的值即可；

（2）由（1）的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由勾股定理求出CD的值，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧交對(duì)稱(chēng)軸于P1，以點(diǎn)D為圓心CD為半徑作圓交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P₂，P₃，作CE垂直于對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論；

（3）先求出BC的解析式，設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，﹣ a+2），就可以表示出F的坐標(biāo)，由四邊形CDBF的面積=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

【解答】解：（1）∵拋物線y=﹣x²+mx+n經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+2；

（2）∵y=﹣x²+x+2，

∴y=﹣（x﹣）²+，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，

∴CP₁=DP₂=DP₃=CD．

作CM⊥x對(duì)稱(chēng)軸于M，

∴MP₁=MD=2，

∴DP₁=4．

∴P₁（，4），P₂（，），P₃（，﹣）；

（3）當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣x²+x+2

∴x₁=﹣1，x₂=4，

∴B（4，0）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，

解得：，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．

如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，﹣ a+2），F(xiàn)（a，﹣ a²+a+2），

∴EF=﹣a²+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a²+2a（0≤a≤4）．

∵S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，

=+a（﹣a²+2a）+（4﹣a）（﹣a²+2a），

=﹣a²+4a+（0≤a≤4）．

=﹣（a﹣2）²+

∴a=2時(shí)，S_{四邊形CDBF的面積最大}=，

∴E（2，1）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，四邊形的面積的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．