Question

【題目】已知關(guān)于的方程x2-(2k+1)x+4k-2=0

（1）求證：不論k取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根

（2）若等腰△ABC一邊長a=4，另兩邊長b，c恰好是這個(gè)方程的兩根，求△ABC的周長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）10.

【解析】(1)根據(jù)方程各項(xiàng)的系數(shù)利用根的判別式即可得出=（2k-3）2≥0,此題得證;

(2)當(dāng)a為底時(shí)，則b、c為腰，根據(jù)兩根相等得出k的值；當(dāng)a為腰時(shí)，則b、c中有一個(gè)的值也等于4，將其代入方程求出k的值;再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b的值，進(jìn)而可求出三角形的周長.

（1）證明：∵在方程x2-（2k+1）x+4k-2=0中，

△=[-（2k+1）]2-4（4k-2）=4k2-12k+9=（2k-3）2≥0，

∴不論k取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：當(dāng)a為底邊時(shí)，b=c，

∴△=（2k-3）2=0，解得：k=，

∴b+c=2k+1=4=a，

∴此種情況不合適；

當(dāng)a為腰時(shí)，將x=4代入原方程得：16-4（2k+1）+4k-2=0，

解得：k=．

∴b+c=2k+1=6，

∴△ABC的周長=a+b+c=4+6=10．