Question

（2013•浦東新區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，且OB=

1

2

OA，將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)C．旋轉(zhuǎn)前后的點(diǎn)B和點(diǎn)C都在拋物線y=-

5

6

x²+bx+c上，
（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）求該拋物線的表達(dá)式；
（3）聯(lián)結(jié)AC，該拋物線上是否存在異于點(diǎn)B的點(diǎn)D，使點(diǎn)D與AC構(gòu)成以AC為直角邊的等腰直角三角形？如果存在，求出符合所有條件的D點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由A點(diǎn)坐標(biāo)求出OA的長，根據(jù)點(diǎn)B在y軸正半軸上，且OB=

1

2

OA，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1）；過點(diǎn)C作CD垂直于x軸于D，由點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得到AB=AC，且∠BAC為直角，可得∠OAB與∠CAD互余，由∠AOB為直角，可得∠OAB與∠ABO互余，根據(jù)同角的余角相等可得一對角相等，再加上一對直角相等，利用ASA可證明三角形ACD與三角形AOB全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AD=OB，CD=OA，進(jìn)而求出C的坐標(biāo)；
（2）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，分三種情況考慮：（i）當(dāng)以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則延長BA至點(diǎn)P₁，使得P₁A=CA，得到等腰直角三角形ACP₁，過點(diǎn)P₁作P₁M⊥x軸，如圖所示，根據(jù)一對對頂角相等，一對直角相等，AB=AP₁，利用AAS可證明三角形AP₁M與三角形ABO全等，得出AP₁與P₁M的長，再由P₁為第四象限的點(diǎn)，得出此時P₁的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中檢驗(yàn)滿足；（ii）當(dāng)以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)C作CP₂⊥AC，且使得CP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，過點(diǎn)P₂作y軸的平行線，過點(diǎn)C作x軸的平行線，兩線交于點(diǎn)N，如圖所示，同理證明三角形CP₂N與三角形AOB全等，得出P₂N與CN的長，由P₂為第一象限的點(diǎn)，寫出P₂的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中檢驗(yàn)滿足；（iii）當(dāng)以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)C作CP₃⊥AC，且使得CP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，過點(diǎn)P₃作x軸的平行線，過點(diǎn)C作y軸的平行線，兩線交于點(diǎn)H，如圖所示，同理可證明三角形CP₃H全等于三角形AOB，可得出P₃H與CH的長，由P₃為第一象限的點(diǎn)，寫出P₃的坐標(biāo)，代入拋物線解析式檢驗(yàn)，不滿足，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（2，0），
∴OA=2，
∴OB=

1

2

OA=1，
∵點(diǎn)B在y軸正半軸上，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1）；
過C作CD⊥x軸，垂足為D，
∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，
∴OA=CD=2，OB=AD=1，
∴OD=OA+AD=3，又C為第一象限的點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）；

（2）∵點(diǎn)B和點(diǎn)C都在拋物線y=-

5

6

x²+bx+c上，
∴把B（0，1），C（3，2）代入，
得

c=1 - 5 6 ×9+3b+c=2

，
解得

b= 17 6 c=1

，
則拋物線的解析式為y=-

5

6

x²+

17

6

x+1；

（3）該拋物線上存在點(diǎn)P，△ACP是以AC為直角邊的等腰直角三角形，分三種情況：
（i）若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則延長BA至點(diǎn)P₁，使得P₁A=CA，得到等腰直角三角形ACP₁，
過點(diǎn)P₁作P₁M⊥x軸，如圖所示，

∵AP₁=CA=AB，∠MAP₁=∠OAB，∠P₁MA=∠OBA=90°，
∴△AMP₁≌△AOB，
∴AM=AO=2，P₁M=OB=1，
∴OM=OA+AM=4，
∴P₁（4，-1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P₁在拋物線y=-

5

6

x²+

17

6

x+1上；
（ii）若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)C作CP₂⊥AC，且使得CP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，
過點(diǎn)P₂作y軸的平行線，過點(diǎn)C作x軸的平行線，兩線交于點(diǎn)N，如圖，

同理可證△CP₂N≌△ABO，
∴CN=OA=2，NP₂=OB=1，
又∵C的坐標(biāo)為（3，2），
∴P₂（1，3），經(jīng)檢驗(yàn)P₂也在拋物線y=-

5

6

x²+

17

6

x+1上；
（iii）若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)C作CP₃⊥AC，且使得CP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，
過點(diǎn)P₃作x軸的平行線，過點(diǎn)C作y軸的平行線，兩線交于點(diǎn)H，如圖，

同理可證△CP₃H≌△BAO，
∴HP₃=OA=2，CH=OB=1，
又∵C的坐標(biāo)為（3，2），
∴P₃（5，1），經(jīng)檢驗(yàn)P₃不在拋物線y=-

5

6

x²+

17

6

x+1上；
則符合條件的點(diǎn)有P₁（4，-1），P₂（1，3）兩點(diǎn)．

點(diǎn)評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．