Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∠ABC=30°．D是CB上一點，DC=1cm．P、Q是直線CB上的兩個動點，點P從C點出發(fā)，以1cm/s的速度沿直線CB向右運動，同時，點Q從D點出發(fā)，以2cm/s的速度沿直線CB向右運動，以PQ為一邊在CB的上方作等邊三角形PQR，下圖是其運動過程中的某一位置．設運動的時間是t（s）．
（1）△PQR的邊長是______cm（用含有t的代數(shù)式表示）；
（2）若等邊△PQR與△ABC重疊部分的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）△PQR的邊長PQ=CQ-CP=（CD+DP）-CP=（1+2t）-t=（t+1）cm；
故答案為：（t+1）；


（2）當0≤t＜時，如圖1：易得重疊部分為一個小等邊三角形其邊長為t+1，
則重疊部分的面積y=（t+1）²；
當≤t＜時，如圖2：易得重疊部分為四邊形MNQP，
∵∠B=30°，且△RPQ為等邊三角形，得到∠RPQ=∠R=60°，
∴∠PMN=90°，且PB=BC-CP=6-t，∠RNM=30°，
∴PM=（6-t），故MR=PR-PM=（t+1）-（6-t）=（3t-4），
∴MN=MR•tan60°=（3t-4），
則重疊部分的面積y=（t+1）²-（3t-4）²
=-t²+t-
=-（t-2）²+；
當≤t＜6時，如圖3：同理可得y=（6-t）²；
當t≥6時，如圖4：可得y=0．
分析：（1）根據(jù)題意，直接將△PQR的三邊相加即可得出含t的表達式；易得△QRB為等腰三角形，可得到QB=QR=QP=t+1；
（2）易得重疊部分為一個小等邊三角形，依題意根據(jù)重疊部分圖形的形狀分四種情況考慮：如圖分別畫出圖形，圖形1根據(jù)等邊三角形的邊長為t+1，表示出重疊部分的面積y；圖形2，用等邊三角形RPQ的面積減去三角形RMN的面積，首先由等邊三角形的性質得到內角為60°，再由∠B=30°可得MN與RP垂直，可得三角形RMN為直角三角形，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半，先表示出PB的長，進而表示出MP的長，用RP-MP可得PM的長，再利用銳角三角函數(shù)表示出MN的長，即可表示出三角形RMN的面積，可表示出重疊部分的面積；圖形3，同理可得重疊部分的面積；圖形4，根據(jù)圖形可得重疊部分的面積為0．
點評：本題考查了等邊三角形的性質，直角三角形的性質，以及相似三角形的判定與性質，是一道動態(tài)幾何題，綜合性較強，有一定的難度．特別是第二問動點P和Q運動過程中，與三角形ABC重疊部分存在四種情況，學生應借助圖形，利用分類討論的思想來解決問題．