Question

【題目】銳角中，，為邊上的高線，，兩動點分別在邊上滑動，且，以為邊向下作正方形（如圖1），設其邊長為．

（1）當恰好落在邊上（如圖2）時，求；

（2）正方形與公共部分的面積為時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或4．

【解析】

（1）根據(jù)已知條件，求出AD的值，再由△AMN∽△ABC，確定比例關系求出x的值即可；

（2）當正方形與公共部分的面積為時，可分兩種情況，一是當 在△ABC的內部，二是當 在△ABC的外部，當當 在△ABC的外部時，根據(jù)相似，表達出重疊部分面積，再列出方程，解出x的值即可．

解：（1）∵，為邊上的高線，，

∴

∴AD=4，

設AD交MN于點H，

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴，即，解得，

∴當恰好落在邊上時，

（2）①當 在△ABC的內部時，正方形與公共部分的面積即為正方形的面積，

∴，解得

②當 在△ABC的外部時，如下圖所示，PM交BC于點E，QN交BC于點F，AD交MN于點H，

設HD=a，則AH=4-a，

由得，解得

∴矩形MEFN的面積為

即

解得（舍去），

綜上：正方形與公共部分的面積為時，或4．