Question

已知如圖△ABC和△DCE都為等邊三角形，AE交CD于點N，BD交AC于點M．
①求證：AE=BD．
②連接MN，圖中還有等邊三角形嗎？如有，請證明．

Answer 1

分析：①根據(jù)等邊三角形邊長相等的性質(zhì)和各內(nèi)角為60°的性質(zhì)可求得△BCD≌△ACE，根據(jù)全等三角形對應邊相等的性質(zhì)即可求得AE=BD；
②根據(jù)全等三角形全等的判定可證得△DCM≌△ECN，即可得CM=CN，又∠MCN=60°，所以可判定△NCM是等邊三角形．

解答：解：①證明：∵△ABC和△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠ACD+∠ACB，∠BCD=∠DCE+∠DCA，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；

②△NCM是等邊三角形，
理由：
∵△BCD≌△ACE，
∴∠MDC=∠CEN，
∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠MCD=60°，
∵CD=CE，
∴△DCM≌△ECN（ASA）
∴△DCM≌△ECN，
∴CM=CN，
又∵∠MCD=60°，
∴△NCM是等邊三角形．

點評：本題考查了全等三角形的證明和全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，考查了等邊三角形各內(nèi)角為60°、各邊長相等的性質(zhì)，本題中求證△BCD≌△ACE是解題的關(guān)鍵．