Question

在直角坐標(biāo)系中有兩條直線：l₁：y=

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x+2和l₂：y=-2x+4，它們的交點(diǎn)為E，直線l₁與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，直線l₂與x軸、y軸分別交于C、D．
（1）求證：△AOB≌△DOC；
（2）若點(diǎn)P（x，y）是直線L₂上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△APC的面積為S，求S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；求出當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APC的面積是6；
（3）在（2）的條件下過(guò)點(diǎn)P作直線MN∥x軸，交l₁于點(diǎn)M，寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及此時(shí)線段MP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線l₁與直線l₂的解析式，分別求出A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得出OA=OD=4，OB=OC=2，再由∠AOB=∠DOC=90°，根據(jù)SAS即可證明△AOB≌△DOC；
（2）先求出AC=OA+OC=6，再根據(jù)三角形的面積公式得出△APC的面積S=

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AC•|y_P|=-6x+12，求出S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式為S=-6x+12，根據(jù)點(diǎn)P（x，y）是直線l₂上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，得到自變量x的取值范圍；再將S=6代入S=-6x+12，解方程即可求解；
（3）先由過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線MN∥x軸，得出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，將y=2代入直線l₁的解析式，求得x=0，得到M點(diǎn)與B點(diǎn)重合，即可求解．

解答：解：（1）對(duì)于直線l₁：y=

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x+2，當(dāng)x=0時(shí)，y=2；當(dāng)y=0時(shí)，x=-4；則A（-4，0），B（0，2）；
對(duì)于直線l₂：y=-2x+4，當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=2；則C（2，0），D（0，4）；
∴OA=OD=4，OB=OC=2．
在△AOB與△DOC中，

OA=OD ∠AOB=∠DOC=90° OB=OC

，
∴△AOB≌△DOC（SAS）；

（2）∵點(diǎn)P（x，y）是直線l₂上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴0＜x＜2，0＜y＜4．
又∵AC=OA+OC=4+2=6，
∴△APC的面積S=

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AC•|y_P|=

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×6（-2x+4）=-6x+12，
∴S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式為S=-6x+12（0＜x＜2）；
當(dāng)S=6時(shí)，-6x+12=6，
解得x=1，此時(shí)y=-2×1+4=2，
∴當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到（1，2）時(shí)，△APC的面積是6；

（3）如圖，∵過(guò)點(diǎn)P（1，2）作直線MN∥x軸，交l₁于點(diǎn)M，
∴M點(diǎn)與P點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，都是2，
當(dāng)y=2時(shí)，

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x+2=2，解得x=0，
∴M（0，2），即M點(diǎn)與B點(diǎn)重合，
∴MP=BP=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定，三角形的面積，平行于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及兩點(diǎn)之間的距離，難度適中．