Question

如圖，△ABC是一銳角三角形余料，邊BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC上．
求：（1）AK為何值時(shí)，矩形EFGH是正方形？
（2）若設(shè)AK=x，S_EFGH=y，試寫(xiě)出y與x的函數(shù)解析式．
（3）x為何值時(shí)，S_EFGH達(dá)到最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出邊長(zhǎng)為xcm，由正方形的性質(zhì)得出，EH∥AD，EF∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得出比例關(guān)系式，

EH

AD

=

BE

AB

、

EF

BC

=

AE

AB

，代入數(shù)據(jù)求解即可，
（2）設(shè)AK=x，則EH=16-x，再根據(jù)

EF

BC

=

AK

AD

得出EF的表達(dá)式，根據(jù)矩形面積公式即可得出y與x的函數(shù)解析式，
（3）對(duì)二次函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行配方即可求最值．

解答：解：（1）設(shè)邊長(zhǎng)為xcm，
∵矩形為正方形，
∴EH∥AD，EF∥BC，
根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得出：

EH

AD

=

BE

AB

、

EF

BC

=

AE

AB

，
由題意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即

x

24

=

BE

AB

，

x

16

=

AE

AB

，
∵BE+AE=AB，
∴

x

24

+

x

16

=

BE

AB

+

AE

AB

=1，
解得x=

48

5

，
∴AK=

72

5

，
∴當(dāng)AK=

72

5

時(shí)，矩形EFGH為正方形；

（2）設(shè)AK=x，EH=24-x，
∵EHGF為矩形，
∴

EF

BC

=

AK

AD

，即EF=

2

3

x，
∴S_EFGH=y=

2

3

x•（24-x）=-

2

3

x²+16x（0＜x＜24）；

（3）y=-

2

3

x²+16x
配方得：y=-

2

3

（x-12）²+96，
∴當(dāng)x=12時(shí)，S_EFGH有最大值96．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，綜合性強(qiáng)，難度較大．