Question

18、如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，PCB是⊙O的割線，交⊙O于C、B兩點，半徑OD⊥BC，垂足為E，AD交PB于點F，BF=PF．
（1）求證：PA=PF；
（2）若CF=1，求切線PA的長．

Answer 1

分析：（1）可通過證明角相等來得出邊相等，本題中需要證明的相等角是∠PFA=∠PAF，我們看這兩個角和哪些角有關(guān)系，∠PFA=∠DFE，∠D+∠DFE=∠D+∠DFA=90°，再看∠PAF，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出，∠PAF+∠OAD=90°，那么只要證明∠ODA=∠OAD，就能得出∠PFA=∠PAF的結(jié)論，而∠ODA=∠OAD正好可以用等邊對等角來得出，因此便能證明出PA=PF；
（2）根據(jù)切割線定理我們可知：PA²=PC•PB，而PC=PF-1，PB=2PF，根據(jù)BF=PF=PA，那么將相等的線段進(jìn)行置換即可求出PA的長．

解答：解：（1）證明：∵PA是圓O的切線，
∴∠OAD+∠PAF=90°…①
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA…②
∵OD⊥BC，
∴∠ODA+∠DFE=90°，而∠DFE=∠PFA．
∴∠PFA+∠ODA=90°…③
根據(jù)①②③可得：∠PFA=∠PAF，
∴PA=PF．

（2）∵PA是圓O的切線，
∴PA²=PC•PB．
∵PC=PF-CF=PA-1，PB=2PF=2PA，
∴PA²=（PA-1）•2PA．
∴PA=2．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，切割線定理等知識點，根據(jù)切線的性質(zhì)得出直角進(jìn)而用等角的余角相等來求出邊相等是解題的關(guān)鍵．