Question

27、計算：
（1）（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³-1，
（x-1）（x³+x²+x+1）=

x⁴-1

，
…
猜想：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=

xⁿ⁺¹-1

．
（2）根據以上結果，試寫出下列各式的結果．（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）=

x⁵⁰-1

．
（3）由以上情形，你能求出下面的式子的結果嗎？（x²⁰-1）÷（x-1）=

x¹⁹+x¹⁸+…+x²+x+1

．若能求，直接寫出結果；若不能求，請說明理由．

Answer 1

分析：根據題中所給的式子可以發(fā)現右側都是x的n次方減1的形式，且右側的次數比左側最高次數大1．

解答：解：根據分析，可得
（1）（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1；

（2）（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）=x⁵⁰-1；

（3）（x²⁰-1）÷（x-1）=（x¹⁹+x¹⁸+…+x²+x+1）（x-1）÷（x-1）=x¹⁹+x¹⁸+…+x²+x+1．

點評：本題是一道找規(guī)律的題目，要求學生的通過觀察，分析、歸納并發(fā)現其中的規(guī)律，并應用發(fā)現的規(guī)律解決問題．根據題中所給的材料獲取所需的信息和解題方法是需要掌握的基本技能．