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        1. (2012•婁底)如圖,在矩形ABCD中,M、N分別是AD、BC的中點,P、Q分別是BM、DN的中點.
          (1)求證:△MBA≌△NDC;
          (2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形?請說明理由.
          分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點的定義,利用SAS判定△MBA≌△NDC;
          (2)四邊形MPNQ是菱形,連接AN,有(1)可得到BM=DN,再有中點得到PM=NQ,再通過證明△MQD≌△NPB得到MQ=PN,從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形,利用三角形中位線的性質(zhì)可得:MP=MQ,進(jìn)而證明四邊形MQNP是菱形.
          解答:證明:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
          ∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°,
          ∵在矩形ABCD中,M、N分別是AD、BC的中點,
          ∴AM=
          1
          2
          AD,CN=
          1
          2
          BC,
          ∴AM=CN,
          在△MAB和△NDC中,
          AB=CD
          ∠A=∠C=90°
          AM=CN
          ,
          ∴△MBA≌△NDC;

          (2)四邊形MPNQ是菱形.
          理由如下:連接AP,MN,
          則四邊形ABNM是矩形,
          ∵AN和BM互相平分,
          則A,P,N在同一條直線上,
          易證:△ABN≌△BAM,
          ∴AN=BM,
          ∵△MAB≌△NDC,
          ∴BM=DN,
          ∵P、Q分別是BM、DN的中點,
          ∴PM=NQ,
          ∵DM=BN,DQ=BP,∠MDQ=∠NBP,
          ∴△MQD≌△NPB.
          ∴四邊形MPNQ是平行四邊形,
          ∵M(jìn)是AD中點,Q是DN中點,
          ∴MQ=
          1
          2
          AN,
          ∴MQ=
          1
          2
          BM,
          ∵M(jìn)P=
          1
          2
          BM,
          ∴MP=MQ,
          ∴平行四邊形MQNP是菱形.
          點評:本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及平行四邊形的判定和菱形的判定方法,屬于基礎(chǔ)題目.
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          (2)當(dāng)BD為何值時,以M為圓心,以MF為半徑的圓與BC相切?
          (3)設(shè)BD=x,五邊形ANEDM的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式(要求寫出自變量x的取值范圍);當(dāng)x為何值時,y有最大值?并求y的最大值.

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