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        1. 【題目】已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AD平分∠BAC.

          (1)如圖1,求證:;

          (2)如圖2,當BC為直徑時,作BEAD于點E,CFAD于點F,求證:DE=AF;

          (3)如圖3,在(2)的條件下,延長BE交⊙O于點G,連接OE,若EF=2EG,AC=2,求OE的長.

          【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)2.

          【解析】

          (1)連接OBOC、OD,根據(jù)圓心角與圓周角的性質(zhì)得∠BOD=2BAD,∠COD=2CAD,又AD平分∠BAC,得∠BOD=COD,再根據(jù)圓周角相等所對的弧相等得出結(jié)論.

          (2)過點OOMAD于點M,又一組角相等,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出對應邊成比例,進而得出結(jié)論;

          (3)延長EOAB于點H,連接CG,連接OA,BC為⊙O直徑,則∠G=CFE=FEG=90°,四邊形CFEG是矩形,得EG=CF,又AD平分∠BAC,再根據(jù)鄰補角與余角的性質(zhì)可得∠BAF=ABE,∠ACF=CAF,AE=BE,AF=CF,再根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)計算出邊的長,根據(jù)“角角邊”證明出△HBO∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對應邊成比例,進而得出結(jié)論.

          (1)如圖1,連接OB、OC、OD,

          ∵∠BAD和∠BOD所對的圓周角和圓心角,

          CAD和∠COD所對的圓周角和圓心角,

          ∴∠BOD=2BAD,COD=2CAD,

          AD平分∠BAC,

          ∴∠BAD=CAD,

          ∴∠BOD=COD,

          =;

          (2)如圖2,過點OOMAD于點M,

          ∴∠OMA=90°,AM=DM,

          BEAD于點E,CFAD于點F,

          ∴∠CFM=90°,MEB=90°,

          ∴∠OMA=MEB,CFM=OMA,

          OMBE,OMCF,

          BEOMCF,

          =,

          OB=OC,

          ==1,

          FM=EM,

          AM﹣FM=DM﹣EM,

          DE=AF;

          (3)延長EOAB于點H,連接CG,連接OA.

          BC為⊙O直徑,

          ∴∠BAC=90°,G=90°,

          ∴∠G=CFE=FEG=90°,

          ∴四邊形CFEG是矩形,

          EG=CF,

          AD平分∠BAC,

          ∴∠BAF=CAF=×90°=45°,

          ∴∠ABE=180°﹣BAF﹣AEB=45°,

          ACF=180°﹣CAF﹣AFC=45°,

          ∴∠BAF=ABE,ACF=CAF,

          AE=BE,AF=CF,

          RtACF中,∠AFC=90°,

          sinCAF=,即sin45°=

          CF=2×=,

          EG=,

          EF=2EG=2,

          AE=3,

          RtAEB中,∠AEB=90°,

          AB===6,

          AE=BE,OA=OB,

          EH垂直平分AB,

          BH=EH=3,

          ∵∠OHB=BAC,ABC=ABC

          ∴△HBO∽△ABC,

          ==,

          OH=1,

          OE=EH﹣OH=3﹣1=2.

          練習冊系列答案
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          其中說法正確的是( 。

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          (3)連接ME,并直接寫出EM的長.

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          的關(guān)系式是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.

          (3)延伸探究:在圖2的情況下,把直線l繞點A旋轉(zhuǎn),使得∠APB=90°(如圖3),若兩平行線m、n之間的距離為2k,求證:PAPB=kAB.

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