Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝，點(diǎn)O在AC上，以OA為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E．

（1）求證：∠EDB＝∠B．

（2）若sinB＝，AB＝10，OA＝2，求線段DE的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4.75

【解析】分析：(1)、連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠ODA＋∠EDB＝，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A＋∠B＝，根據(jù)OA＝OD得出∠A＝∠ODA，從而得出答案；(2)、連接OE，根據(jù)三角函數(shù)得出AC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理得出BC的值，設(shè)DE=x，則BE=DE=x，CE=8－x，根據(jù)得出答案．

詳解：（1）解：連結(jié)OD，

∵DE與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥DE． ∴∠ODE＝． ∴∠ODA＋∠EDB＝．

∵∠C＝， ∴∠A＋∠B＝． ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA. ∴∠EDB＝∠B.

（2）連結(jié)OE， ∵∠EDB＝∠B， ∴EB＝ED． ∵AB＝10，sinB＝＝， ∴AC＝6．

由勾股定理，得BC＝8． 設(shè)DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝8－x．

∵∠C＝∠ODE ＝， ∴．

∴， ∴， 即DE＝.